Frage zum Kreuzprodukt

24.08.2005, 10:22	manifold	Auf diesen Beitrag antworten »
Frage zum Kreuzprodukt So eine Aufgabe: A,B,C,D seien Mengen. Aus $\begin{eqnarray} A\subseteq{C} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B\subseteq{D} \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} A\times{B}\subseteq{C}\times{D} \end{eqnarray}$ . Bei $\begin{eqnarray} A\neq\emptyset \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B\neq\emptyset \end{eqnarray}$ gilt auch die Umkehrung. Der Fall, wenn entweder $\begin{eqnarray} A=\emptyset \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} B=\emptyset \end{eqnarray}$ ist klar. *Wenn aber wirklich beides zutrifft, ist das Kreuzprodukt $\begin{eqnarray} \emptyset\times\emptyset \end{eqnarray}$ überhaupt definiert?* Ich habe schon immer gesehen, dass $\begin{eqnarray} A\times\emptyset=\emptyset\times{B}=\emptyset \end{eqnarray}$ . Was den Fall mit zwei Leermengen angeht, hab ich irgendwie Zweifel.
24.08.2005, 10:35	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
wie ist denn x definiert? sag uns das doch erstmal... was ist jetzt eigentlich genau die aufgabe? das obere mit den "teilmenge" zu zeigen? wenn ja: einfach inklusion und wozu diese einschränkung? auch bei "leer"x"leer" gilt......... (?), setz dazu einfach die definition ein
24.08.2005, 11:52	manifold	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal Entschuldigung, ich hab da auf die schnelle Mist gebaut. Ich hab den zweiten Absatz korrigiert (A ist leer und B ist leer). Es wird nicht gesagt, was mit den Angaben zu tun ist. Ich gehe davon aus, dass da ein Beweis erfolgen soll, zumal es ja um Mengenrelationen geht. Die Folgerung ist nicht schwer zu beweisen. Man muss ja mit entsprechenden Aussagen arbeiten, die ich hier nicht unbedingt hinschreiben möchte. Es geht aber prinzipiell um die Begriffsbildung des Kreuzproduktes zweier leeren Mengen, die aus der Aufgabe hervorgeht. Ich hab so ziemlich kein Problem zu verstehen, dass $\begin{eqnarray} A\times\emptyset=\emptyset\times{B}=\emptyset \end{eqnarray}$ , aber dass auch im Falle zweier leeren Mengen gilt $\begin{eqnarray} \emptyset=\emptyset\times\emptyset \end{eqnarray}$ fällt mir doch schwer. Mir ist sowas auch noch nie begegnet. Aus der Aufgabe wird klar, dass dieser Fall miteinzuschließen ist. Ich wurde mißtrauisch und möchte also nur fragen, ob die Definition eines Kreuzproduktes zweier leeren Mengen erlaubt bzw. unsinnig ist.
24.08.2005, 12:07	Xytras	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut, da x nicht naeher definiert ist nehme ich einfahc mal das Karthesische Produkt der Mengen an? Dann macht fuer mich aber auch schon $\begin{eqnarray} \emptyset \times A \end{eqnarray}$ keinen Sinn irgendwie oder zumindest nicht mehr sind als $\begin{eqnarray} \emptyset \times \emptyset \end{eqnarray}$ ... Ansonsten steht da ne Implikation und du willst zeigen dass es unter gewissen Voraussetzungen ne Aequivalenz ist, sehe ich das richtig?
24.08.2005, 12:23	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
warum sollte "leer"x"leer" keinen sinn machen? die menge ist natürlich selbst leer, aber das macht doch keine probs wie schon gesagt: schreibt euch die definition von allgemein AxB auf und dann setzt für A,B leere menge ein und vergleicht beachtet dabei, das AxB auch wieder eine menge (von paaren aus elementen aus A,B) ist mfg jochen
24.08.2005, 13:50	manifold	Auf diesen Beitrag antworten »
So wie ich die Aufgabe verstanden hab, muss man gerade zeigen, dass da nur ne Implikation gilt, aber keine Äquivalenz...deshalb die Einschränkung. Ich hab da in Amanns Analysis 1 nachgeschaut. Dort ist sogar der Fall, wenn A nicht leer aber B leer ist, überhaupt nicht definiert. Ich bin jetzt komplett verwirrt. Er sagt (wie auch immer), es könne in diesem Fall offensichtlich keine Abbildung von A in B geben!!! WARUM??? Ich versuche jetzt zu verstehen, warum das so ist. Leute, ich verstehe, das ist GAN=General Abstarct Nonsense, aber ich will's trotzdem verstanden haben. ...oder soll ich das doch lieber lassen?
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25.08.2005, 10:57	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
schreib uns doch bitte mal die definition mal hin von AxB (A,B mengen) danach sehen wir weiter
25.08.2005, 11:56	manifold	Auf diesen Beitrag antworten »
also, seien A und B Mengen, $\begin{eqnarray} A\times{B}=\{(x,y)\| x\in{A} \wedge y\in{B}\} \end{eqnarray}$ (Kreuzprodukt) Das hat sich teilweise erledigt, nachdem ich den entsprechenden Satz entdeckt hatte, der besagt: $\begin{eqnarray} A\times{B}=\emptyset\Leftrightarrow(A=\emptyset)\vee(B=\emptyset) \end{eqnarray}$ Ich entschuldige mich für die Verwirrung. Ich hab im vorletzten Beitrag eine Abbildung mit dem Graphen dieser Abbildung verwechselt. Das hat ja nur indirekt was mit dem Kreuzprodukt zu tun. Wenn es aber wirklich um Abbildungen von einer Menge A nach B geht, so kann ich immer noch nicht verstehen, warum es keine Abbildung gibt, wenn B leer ist. D.h. also der Ausdruck $\begin{eqnarray} f:A\rightarrow{\emptyset} \end{eqnarray}$ ist sinnlos. Insbesondere (wenn ich jetzt eine Verbindung zu Kreuzprodukten herstelle) kann ich eigentlich daraus schließen, dass es diese Abbildungen nicht gibt: $\begin{eqnarray} F:A\times{B}\rightarrow{B}\times{A}, F^{-1}:B\times{A}\rightarrow{A}\times{B} \end{eqnarray}$ , wenn A oder B leer ist, oder? Wie zeigt man also, dass eine Abbildung von einer nichtleeren Menge nach einer leeren Menge sinnlos ist?

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