noch mal Taylor

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24.08.2005, 12:06	o-pa	Auf diesen Beitrag antworten »
noch mal Taylor Hallo miteinander! Ich wollte man fragen ob ob mir jemand noch mal das Prinzip erläutert beim Bestimmen einer Taylorreihe. Also ich habe meine Funktion und bilde daraus schon mal das Taylorpolynom (feste Formel). Dann muss ich zusehen dass ich aus den Ableitungen irgendwie eine gewisse Reihe bilde - und das mit Hilfe von vorgegebenen Potenz-, Binominal-, ... Reihen. Habe ich das so richtig verstanden? Gruß und Dank
24.08.2005, 12:53	yeti777	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: noch mal Taylor Hallo o-pa! Hinter dem TAYLOR-Polynom steht folgende Idee: Man will eine auf einem Intervall I definierte, n-mal stetig differenzierbare Funktion f in jedem Punkt von I durch ein Polynom vom Grade <= n approximieren. Die Grundlage dazu liefert der Satz von TAYLOR: Seien $\begin{eqnarray} n\in \mathbb N ^0\,,f: I-> \mathbb R \,\,\,( n+ 1)- mal \end{eqnarray}$ differenzierbar und $\begin{eqnarray} x_0\in I \end{eqnarray}$ . Zu jedem $\begin{eqnarray} x\in I \end{eqnarray}$ existiert dann eine reelle Zahl $\begin{eqnarray} \xi \in I \end{eqnarray}$ zwischen $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(x)= \sum_{k=0}^n~ \frac{f^{(n)} ( x_0)}{k!} (x- x_0 )^k+ \frac{f^{(n+ 1)} ( \xi )}{ (n+ 1 ) !} (x- x_0 )^{n+ 1} \end{eqnarray}$ Der erste Summand stellt das TAYLOR-Polynom dar. Der zweite Summand, das Restglied, erlaubt eine Fehlerabschätzung der Approximation. Gruss yeti Edit: Schreibfehler im TAYLOR-Polynom korrigiert
24.08.2005, 13:04	o-pa	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: noch mal Taylor Okay, und wie kann ich nun aus z.B. 4 Ableitungen eine Reihe bilden? Also wenn mann nicht gerade so etwas eindeutiges hat wie $\begin{eqnarray} \frac{1}{x} ... \frac{2}{x^2} ... \frac{3}{x^3} \end{eqnarray}$
24.08.2005, 13:12	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
was du suchst ist die genaue taylorreihe (unendlich, dazu muss das ganze unendlich oft diffbar sein) als unendliche reihe, dann ohne restglied? das geht nicht immer so ohne weiteres dafür musst du (am besten induktiv) deine n-te ableitung für alle n zeigen versuche aus den ersten ableitungen eine regel zu erkennen und diese dann mit induktion zu zeigen wenn du keine regel erkennst, dann wird das nichts, dann kannst du höchstens wie yeti sagt approximieren beispiele für funktionen wo das problemlos geht: polynome, denn da sind die ableitungen irgendwann 0 einfache sinuskurven etc. mfg jochen
24.08.2005, 13:27	yeti777	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: noch mal Taylor Ich weiss nicht genau, wie ich deine Frage deuten muss. Aber ich versuch's mal mit einer Antwort. Zuerst eine kleine Bemerkung zur Klärung der Begriffe: Wenn du von einer stetig differenzierbaren Funktion nur vier Ableitungen hast, dann kannst du damit ein TAYLOR-Polynom bilden, nicht eine T-Reihe. Diese hätte ja abzählbar unendlich viele Glieder. Bei gewissen Funktionen liegt natürlich die Krux manchmal darin, dass es rechnerisch sehr mühsam ist, die höheren Ableitungen zu bilden. Manchmal hilft da der Trick, dass man die Ableitung der gegebenen Funktion entwickelt und nachher gliedweise integriert. Das geht natürlich nur, wenn die Ableitung der Funktion ebenfals n-mal stetig differenzierbar ist. Eine weitere Möglichkeit besteht darin, in einem Tafelwerk bereits vorhandene Reihenentwicklungen zu Rate zu ziehen. Zuweilen gelingt es dann, die eigene Reihenentwicklung auf eine bereits vorhandene zurückzuführen. Ich weiss nicht, ob ich deine Frage beantwortet habe. Vielleicht hast du ein konkretes Beispiel? Gruss yeti
24.08.2005, 17:04	o-pa	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: noch mal Taylor Ja gerne: $\begin{eqnarray} g(x)=ln(x+\sqrt{1+x^2}) \end{eqnarray}$ mit (x0=0) => 0 $\begin{eqnarray} g'(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \end{eqnarray}$ mit (x0=0) => 1 $\begin{eqnarray} g''(x)=\frac{-x}{(1+x^2)^\frac{3}{2}} \end{eqnarray}$ mit (x0=0) => 0 $\begin{eqnarray} g'''(x)=\frac{2x^2-1}{(1+x^2)^\frac{5}{2}} \end{eqnarray}$ mit (x0=0) => -1 Talyorpolynom: $\begin{eqnarray} T(3,0)(x)=0+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3!} \end{eqnarray}$ Restglied: $\begin{eqnarray} R(3,0)(x)= \frac{\frac{3x(3-2x^2)epsilon}{(x^2+1)^\frac{7}{2} }}{4!} \end{eqnarray}$ Aufgabe: Bestimme Taylorreihe, wo ist diese kovergent und f(1/2) mit einem Fehler < 10^-3
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24.08.2005, 21:05	yeti777	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: noch mal Taylor Hallo o-pa! Um nicht einem Missverständnis zu erliegen, fasse ich noch einmal zusammen: Die Funktion $\begin{eqnarray} g(x)=ln(x+\sqrt{1+x^2}) \end{eqnarray}$ ist im Punkt $\begin{eqnarray} x_0= 0 \end{eqnarray}$ durch ein TAYLOR-Polynom derart zu approximieren, dass bei $\begin{eqnarray} x= \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ der Fehler $\begin{eqnarray} \epsilon < 10^{-3} \end{eqnarray}$ beträgt. Deine Ableitungen sind richtig. Dein angesetztes TAYLOR-Polynom kann ich nicht nachvollziehen. Wieso taucht da ein Summand mit geradem Exponenten von x auf? Was ist mit dem 4. Summanden? Die Fehlerbedingung, umgemünzt auf das Restglied der TAYLOR-Entwicklung, lautet: $\begin{eqnarray} \| R(x )\| = \| \frac{f^{(n+ 1)} ( \xi )}{ (n+ 1 ) !} (x- x_0 )^{n+ 1} \| < 10^{-3} \end{eqnarray}$ . Die Auswertung dieser Ungleichung ist mühsam. Ich habe deshalb direkt einen Ansatz mit einem TAYLOR-Polynom 3. Grades gemacht. Es lautet: $\begin{eqnarray} T_3 (x,0)= x- \frac{1}{6} x^{3} \end{eqnarray}$ . Für den Fehler bei $\begin{eqnarray} x= \frac{1} {2} \end{eqnarray}$ ergibt sich: $\begin{eqnarray} \epsilon_3= \| f( \frac{1}{2} ) - T_3( \frac{1}{2}, 0) \| \approx 0.002045 \end{eqnarray}$ . Das reicht noch nicht ganz. Aber das Polynom 5. Grades führt zum Ziel: $\begin{eqnarray} T_5 (x,0)= x- \frac{1}{6} x^{3} + \frac{3}{40} x^5 \end{eqnarray}$ . Jetzt haben wir: $\begin{eqnarray} \epsilon_5= \| f( \frac{1}{2} ) - T_5( \frac{1}{2}, 0) \| \approx 0.000298 < 10^{-3} \end{eqnarray}$ . Das Ziel ist erreicht. Zur Konvergenz beachte: Eine TAYLOR-Reihe ist eine Potenzreihe. Das Quotientenkriterium ist nicht anwendbar, da die geraden Potenzen fehlen. Gruss yeti
25.08.2005, 10:48	o-pa	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: noch mal Taylor Hey, vielen vielen Dank für deine Mühe!! Aber was ist denn nun von diesen Ergebnissen die tylorREIHE und mit welchen Mitteln genau ist ise aus den Ableitungen hergeleitet worden? Sorry, falls ich zu "langsam" bin!
25.08.2005, 15:57	yeti777	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: noch mal Taylor Hallo o-pa! Die Definition der TAYLOR-Reihe lautet: Für eine beliebig oft differenzierbare Funktion $\begin{eqnarray} f:\,I \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_0\in I \end{eqnarray}$ heisst die Potenzreihe $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^\infty ~ \frac{f^{(n)} ( x_0)}{k!} (x- x_0 )^k \end{eqnarray}$ mit dem Entwicklungszentrum $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ die TAYLOR-Reihe von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ . Das hier ist eine Reihe mit abzählbar unendlich vielen Gliedern. Deshalb stellt sich das Problem der Konvergenz. In den oberen Abschnitten hatten wir es mit dem TAYLOR-Polynom zu tun mit endlich vielen Summanden. Der nächste Schritt würde jetzt zu den reell-analytischen Funktionen führen. Aber ich denke, das gehört nicht zu deiner Aufgabenstellung. Gruss yeti Edit: Schreibfehler in der TAYLOR-Formel korrigiert
25.08.2005, 19:44	o-pa	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: noch mal Taylor Ich bin, glube ich , einfach zu dumm.. Dennoch, Dank Dir noch mal für deine Hilfe !!!
26.08.2005, 11:49	yeti777	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: noch mal Taylor Hey o-pa! Ich möchte das nicht so stehen lassen! Vielleicht habe ich deine Fragen falsch verstanden. Nachdem du schon so viel Mühe investiert hast, komm lass es uns noch einmal versuchen! Bitte erkläre mir ausführlich, wo deine Verständnisschwierigkeiten liegen. Ich bin gerne bereit, darauf einzugehen. Vielleicht wäre es auch nützlich, wenn du mir mitteiltest, auf welcher Stufe der Mathematik du dich befindest, damit ich meine Antworten danach richten kann. Nur Mut, das schaffen wir schon! Gruss yeti
29.08.2005, 08:30	o-pa	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: noch mal Taylor Hey, das ist aber nett von Dir! Sorry dass ich mich übers WE nicht gemeldet habe. Jetzt sitze ich wieder in der Bib und bin wieder dabei. Okay, was ich immernoch nicht verstehe ist was von deinen Ergebnissen die Taylorreihe ist. Bzw. denke ich, dass man die noch ausrechnen muss. Das Taylorpolynon, Restwert und Fehlerabschätzung funktioniert ja indem man einfach die Werte in die entsprechende Formel einsetzt. Aber es geht halt um die Reihe. (.. na gut, und wo diese dann schließlich konvergent ist) ... oder ist etwa die Taylorreihe = Taylorpolynom + Restglied ??
29.08.2005, 18:25	yeti777	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: noch mal Taylor Hallo o-pa! Schön, dass du dich noch einmal gemeldet hast! Ich komme mit der Konvergenz der Reihe selber nicht weiter. Daher habe ich einen neuen Thread aufgemacht, sieh mal hier: Konvergenz TAYLOR-Reihe Hier siehst du auch die von dir gewünschte TAYLOR-Reihe mit den ersten Gliedern (Die Reihe selber hat natürlich abzählbar unendlich viele Glieder). Gruss yeti

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