Körper mit 4 Elementen |
| 24.08.2005, 15:07 | way | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Körper mit 4 Elementen ich habe folgendes von Beutelspacher abgeschrieben, da ich dazu eine Frage habe: Ein Körper mit 4 Elementen, muss ja wie jeder Körper, die Elemente 0, 1, 1+1, 1+1+1,... enthalten. Diese Elemente müssen nicht notwendig verschieden sein. Im Gegenteil: Da K nur endlich viele Elemente hat, muss irgendwann 1+1+...+1=1+1+...+1 (links von "=" steht n mal die 1, und rechts vom "=" steht m mal die 1) mit n>m sein. Daraus ergibt sich 1+1+...+1=0 (wobei hier jetzt 1+1+...+1 der (n-m)mal 1 entspricht). Insbesondere ist 0 eine Summe von Einsen. Indem wir 1 subtrahieren, erhalten wir 1+1+...+1=-1 (wobei hier jetzt 1+1+...+1 der (n-m-1) mal der 1 entspricht). Insbesondere halten wir die Tatsache fest, dass das Element -1 von der Form 1+1+...+1 ist. Wir wissen, dass Z_4 kein Körper ist. Das bedeutet , dass K - falls ein solcher Körper überhaupt existiert! - nicht nur aus den Elementen 0,1,1+1,1+1+1,... bestehen kann. Es muss also ein Element von K geben, dass nicht von der Form 0,1,1+1,1+1+1,... ist. Soweit hab ich das vom Beutelspacher abgeschrieben. Meine Frage jetzt: Wieso folgt aus der Tatsache, dass Z_4 kein Körper ist, dass, falls es einen Körper mit 4 Elementen gibt, dass dieser nicht nur aus den Elementen 0,1,1+1,1+1+1,... bestehen kann? Danke und Grüsse... carlito |
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| 24.08.2005, 20:41 | phi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Weil Z_4 per Definition aus den Elementen {0,1,2,3}={0, 1, 1+1, 1+1+1} besteht. 
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| 24.08.2005, 21:18 | way | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo phi, erst mal danke für die Antwort. Wer sagt mir aber, dass es keinen anderen Körper mit 4 Elementen gibt, der genau aus den Elementen von Z_4 besteht? Es könnte ja sein, dass es einen Körper mit 4 Elementen gibt, der genau aus den Elementen von Z_4 besteht, aber bei dem die Verknüpfungen anderst definiert sind. (Was sie ja müssten, da ja Z_4 kein Körper ist) Grüsse... |
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| 24.08.2005, 21:34 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ein Ring mit nichtprimer Charakteristik enthält Nullteiler und kann somit kein Körper sein. EDIT: Sorry, falscher Wikipedia-Link. |
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| 25.08.2005, 11:41 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
da ruft aber der nichtmathematiker in dir oder? das sind nur namen, dass ist völlig belanglos wenn du den körper mit den 2 elementen "harry" und "hugo" hast, dann ist das nix anderes als der körper mit 0 und 1, oder mit denn restklassen 0 und 1 oder mit 17 und 4, solange nur die verknüpfungen gleich sind. soll hier heißen: umbennen deiner elemente ändert gar nix. wenn hier also von "den elementen von Z_4" die rede ist, dann meinen sie damit nicht "deren namen", sondern auch insbesondere die damit bekannten verknüpfungen. mfg jochen |
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| 28.08.2005, 17:18 | way | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi Jochen! Aber wieso? ich kann doch die Verknüpfungen definieren wie ich will. Ich nehm jetzt einfach die Elemente von Z_4 und definiere die Verknüpfungen folgendermassen: +0123 00123 11032 22301 33210 und *0123 00000 10123 20231 30312 Somit hab ich mit den Elementen von Z_4 einen Körper konstruiert. D.h. ich hab nur die Elemente 0, 1, 1+1, 1+1+1,... benutzt. Das habe ich gemeint. Da spricht doch nichts dagegen oder? PS: Sorry, ich konnte die Verknüpfungstafeln hier nicht besser darstellen. Grüsse... |
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| 28.08.2005, 18:47 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist formulierungsmäßig einfach nur Nonsens. Du hast einen Körper mit vier Elementen konstruiert, und zwar den (bis auf Isomorphie) einzig möglichen, genannt . Und der hat bis auf die Eigenschaft, auch vier Elemente zu enthalten, nichts mit dem vierelementigen Ring zu tun. Das hat dir Jochen begreiflich zu machen versucht. Du kannst nur dann dann von sprechen, wenn wirkliche Isomorphie zu dieser Struktur vorliegt - und das betrifft nicht nur die Elemente, sondern auch die Struktur der Verknüpfungen + und *. Und eine solche Isomorphie liegt zwischen und nicht vor. |
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