Permutationen und Stirlingzahlen |
| 12.02.2008, 16:32 | freddijr | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Permutationen und Stirlingzahlen Ich bins nochmal. Ich wollte hier mal die Fragen zusammentragen, die ich zu obigem Thema noch habe und hoffe, dass die ein oder andere beantwortet werden kann. 1. Jeder Zykel kann in ein Produkt von Transpositionen zerlegt werden. z.B. ist und jede Transposition ist ein Produkt von Transpositionen benachbarter Ziffern. Frage: Muss ich mir jedes mal genau überlegen, wie ich den Zykel/die TP zerlegen kann, oder gibt es da feste Regeln/ein Verfahren, das man immer anwenden kann, mit dems ganz schnell geht? 2. Ich habe mir damals aufgeschrieben, dass das Signum einer Perm. 1 sei, wenn die Anzahl der TP, in die sie zerfällt, ungerade ist und -1, wenn die Anzahl gerade ist. Aber das stimmt doch nicht oder? Vgl. obiges Beispiel. 3. Eine Frage von unserem Arbeitsblatt: Gilt für 2 kleiner gleich k kleiner gleich n-1? Ich sehe nicht ganz, worauf er mit dieser Frage hinaus will. Ich kenne die Formel für die Stirling Zahlen erster Art und habe dann natürlich versucht zu vergleichen. Aber richtig substituiert wurde hier nicht. Irgendwie habe ich halt das Gefühl, dass ich nicht ganz hinter den "Trick" dieser Aufgabe steige. 4. Gibt es mehr Partitionen von 100 in genau 97Teile als es Permutationen von 100 mit genau 97 disjunkten Zykeln gibt? Der erwartet doch nicht, dass man hier S100,97 und s100,97 ausrechnet?! Wie macht man das am geschicktesten? Danke! |
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| 13.02.2008, 08:51 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Permutationen und Stirlingzahlen
Es gibt eine einfache Regel. Versuche mal, sie dir selbst zu überlegen. Jedes r-Zykel hat Signum r-1.
Das ist falsch. Das Signum ist (-1) hoch der Anzahl der Transpositionen, in die sie zerfällt (modulo 2 eindeutig).
Aha, ich kenne das Arbeitsblatt jedenfalls nicht. EDIT: Soll das eine Rekursionsformel für die Stirlingzahlen sein oder was? Gruß, therisen |
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| 13.02.2008, 12:49 | freddijr | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also zu 1. wenn wir ein r-Zykel haben und r gerade ist, muss die Anzahl der TP ungerade sein. Wenn hingegen r ungerade ist, muss die Anzahl der TPs gerade sein. Anscheinend kann ich mir doch immer das letzte Element schnappen und eine TP mit dem ersten machen. Dann das letzte mit dem 2, dann mit dem 3 etc. Oder? Wie ich jetzt eine Transposition selbst zerlege, bin ich noch nicht ganz hinter gestiegen. Ich weiß nur, dass die Anzahl der Transpositionen, in die ich sie zerlege, ungerade sein muss. 3. Ja, genau, das ist die rekursive Formel für die Stirlingzahlen erster Art. Bzw. ist es nicht....halt eine abgeänderte Form davon. |
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| 15.02.2008, 08:53 | freddijr | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
hallo! mag ja nicht nerven, aber vor allem Frage 3 und 4 wären mir wichtig. Also bei Frage drei handelt es sich um eine abgeänderte Version der Formel zur Berechnung der Stirlingzahlen erster Art. Wie Frage ist nun, ob diese Formel mit den Einschränkungen für k gültig ist. Ich weiß irgendwie nicht, wie ich da vorgehen soll. Bei Frage vier muss es doch einen Trick geben, oder? Die Stirlingzahlen erster und zweiter Art für n=100 und k=97 zu berechnen würde doch auf dem Papier ewig dauern? Wäre über jede Hilfe dankbar, dann komm ich hier vielleicht besser vorwärts... |
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