Wo ist der Fehler :)

webfritzi, hast du mir ein Paar dieser Threads zur Hand, damit ich mich mal durchlesen kann?
Weil deinem Argument würd ich z.B entgegenhalten, dass i im Heuser afaik genauso definiert wurde >.<

hab halt massiv Probleme damit =)

13.02.2008, 18:27

Leopold

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$\begin{eqnarray*} \operatorname{i} = \sqrt{-1} \end{eqnarray*}$ ist nur eine symbolische Schreibweise für "denken wir uns ein Objekt, dessen Quadrat -1 ergibt". Ist dieses Objekt einmal fixiert, erkennt man schnell, daß, wenn man naiv rechnet, wie man es gewohnt ist, auch das Objekt $\begin{eqnarray*} - \operatorname{i} \end{eqnarray*}$ diese Eigenschaft hat. Nachträglich erscheint diese symbolische Schreibweise dann nicht besonders geglückt. Dennoch ist es üblich, so zu verfahren. Außer der Regel $\begin{eqnarray*} \operatorname{i^2} = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = -1 \end{eqnarray*}$ wird man aber mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{-1} \end{eqnarray*}$ keine Algebra treiben. Insbesondere gibt es überhaupt keinen Grund, die beiden $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ unter eine gemeinsame Wurzel zu ziehen. Das unterstellt erstens, daß die Wurzel schon in einem allgemeinen Sinn eindeutig definiert ist, und zweitens, daß sie verträglich mit der Multiplikation ist. Aber warum sollte das so sein? Die Rechnung von Taifun zeigt ja gerade, daß es nicht so ist.

Drehen wir doch den Spieß um und sagen wir:

Es ist nicht möglich, einen Wurzelbegriff eindeutig zu definieren, so daß $\begin{eqnarray*} \sqrt{-1} \end{eqnarray*}$ existiert und die aus dem Reellen vertrauten Wurzelgesetze gelten.

Beweis des Satzes durch Widerspruch

Angenommen, das wäre doch möglich, dann gälte

$\begin{eqnarray*} -1 = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{(-1) \cdot (-1)} = \sqrt{1} = 1 \end{eqnarray*}$

Widerspruch! Damit ist der Satz bewiesen.

Ich sehe also im Unterschied zu WebFritzi das Hauptproblem nicht in der Gleichung $\begin{eqnarray*} \operatorname{i} = \sqrt{-1} \end{eqnarray*}$ , sondern in der ungeprüften Anwendung eines Wurzelgesetzes.

13.02.2008, 18:35

WebFritzi

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Naja, um von einem Wurzelgesetz reden zu können, brauchst du ja erstmal eine Wurzel. Augenzwinkern

Und die ist nunmal im allgemeinen nicht definiert. Du kannst sie dir natürlich definieren. Dann ist es allerdings wirklich das Wurzelgesetz, an dem es hapert.

13.02.2008, 18:39

Leopold

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Ich kann doch die Nichtexistenz eines Objektes zeigen, indem ich annehme, daß es solch ein Objekt gibt und diese Annahme zum Widerspruch führen. Natürlich wäre die Aussage meines Satzes noch zu präzisieren.

13.02.2008, 19:45

WebFritzi

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Eben, und deswegen meinte ich, dass i = sqrt(-1) der Fehler ist, denn sqrt(-1) ist einfach a priori nicht erklärt. Wenn man etwas verwendet, was noch nicht erklärt ist, ist das für mich ein Fehler.

Vor allem habe ich das auch geschrieben, weil ich immernoch sehr oft sehe, dass Studenten die Gleichung i = sqrt(-1) tatsächlich als die "Definition" von i kennen. Das regt mich jedesmal auf, weil es der letzte Humbuk ist. Wann nimmt dieser Spuk endlich ein Ende? traurig

13.02.2008, 20:18

Leopold

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In der Theorie der algebraischen Zahlkörper ist aber so etwas wie $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\sqrt{-5}) \end{eqnarray*}$ durchaus üblich. Ich gebe allerdings zu, daß man Anfänger mit so etwas wie $\begin{eqnarray*} \operatorname{i} = \sqrt{-1} \end{eqnarray*}$ schwer in die Irre führen kann. Erfahrene Mathematiker dürfen aber diese etwas nebulöse Schreibweise verwenden, weil sie um ihre Tragfähigkeit und Problematik wissen. Das tun wir doch auch anderswo, oder? Augenzwinkern

13.02.2008, 23:28

WebFritzi

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Zitat:

Original von Leopold
Das tun wir doch auch anderswo, oder? Augenzwinkern

Na, da hast du allerdings recht. Aber Ingenieure dürfen das nicht. Da bestehe ich drauf. Und das ist mir gerade neulich wieder passiert.

14.02.2008, 02:56

micha on heels

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Komplexe Zashlen
Hallo ihr beiden,

ich bin da fast noch strenger. Die Quadratwurzel aus a ist in den reellen Zahlen als die positive Lösung der Gleichung

x^2 = a

definiert. Da Quadrate immer positiv-semidefinit sind (>=0), ist das Ziehen von Wurzeln aus negativen Zahlen in R schlicht und einfach verboten. Mir ist es rätselhaft, warum bis heute die komplexen Zahlen immer wieder über Wurzeln aus negativen Zahlen eingeführt werden. Dabei gibt es doch logisch einwandfreie Alternativen. Mir persönlich gefällt es am besten, C als Produktmenge R x R einzuführen (also die Menge der reellen Zahlenpaare), auf der eine Addition und eine Multiplikation nach folgenden Regeln definiert wird

(a1,a2) + (b1,b2) := (a1+b1,a2+b2)

(a1,a2) * (b1,b2) := (a1*b1-a2*b2,a1*b2+a2*b1)

Meine Schreibweise ist etwas schludrig: auf der rechten Seite stehen die bekannten Additions- und Multiplikations-Operatoren aus R, während auf der linken Seite die neuen Operatoren aus C stehen. Genauso geht man übrigens auch in einer objektorientierten Programmiersprache vor, wenn man mit komplexen Zahlen rechnen will. Man definiert das Objekt "complex" als Paar von "real" und führt als Methoden die Prozeduren "+" und "-" wie oben ein. Nur dann heißt diese Schludrigkeit hochtrabend "operator overloading"! Computer können als endliche Automaten natürlich nur mit endlichen Zahlen rechnen - mit einer Teilmenge von Q statt mit R. Diese Begrenzung überträgt sich konsequenterweise auf den Datentyp "complex".

Aber zurück zur ursprünglichen Frage. Das berüchtigte "i" ist jetzt keine abstruse Wurzel aus einer negativen Zahl mehr sondern nur noch das harmlose Zahlenpaar (0,1). Dass (0,0) * (0,0) = (0,0) , (1,0) * (1,0) = (1,0) und (0,1) * (0,1) = (-1,0) gilt, ist nach der Multiplikationsdefinition eine leichte Fingerübung. Ein bisschen abstrakter bzw. mühsamer sind die Beweise, dass die Teilmenge (a,0) von C mit der Menge R isomorph (gleichgestaltig, strukturell identisch) ist und dass C ebenfalls einen Zahlenkörper bildet, in dem man dividieren und unbegrenzt subtrahieren darf.

Die Wurzel aus a wird jetzt als Lösung der Gleichung

z * z = a

definiert. Diese Gleichung hat für alle a aus C immer ZWEI Lösungen (Beweis?). Die Lösung muss auch nicht mehr positiv sein, denn in der neuen Menge C kann man den Begriff "positiv" als Äquivalenzrelation nicht widerspruchsfrei einführen (Beweis?). Damit ist die Quadratwurzel aus a in C auch keine Funktion mehr. Eine Funktion ordnet nämlich jedem Element aus ihrem Definitionsbereich ein eindeutig bestimmtes Element aus dem Wertebereich zu. Deshalb auch das +- in der bekannten p-q-Formel für quadratische Gleichungen. Wenn man diese filigranen Unterscheidungen einfach ignoriert, gerät man auf Glatteis.

Taifuns "Widerspruch" ist ein "Pseudowiderspruch". Wurzel aus -1 ist bereits Müll und die Wurzelregeln der reellen Zahlen auf Müll anzuwenden, ist erst recht Müll.

Wer macht sich die Mühe, zu zeigen, wo Taifuns Einwand in der Zahlenpaaralgebra konkret scheitert Big Laugh

nette Grüße, micha

PS

Man kann die komplexen Zahlen auch als 2x2-Matrizen mit der stinknormalen Matrizenmultiplikation als Multiplikationsregel definieren. Da steht a1 in der Hauptdiagonale und a2 mit wechselndem Vorzeichen in der Gegendiagonale. Diese Algebra ist isomorph zu meiner Lieblingsdefinition, also genauso gut.

14.02.2008, 10:53

WebFritzi

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Das ist doch genau das, was ich geschrieben habe. Nur etwas ausführlicher. Bedenke aber, dass man sehr wohl eine Wurzelfunktion auf ganz C definieren kann. Ich habe gerade neulich noch ein Paper gelesen, indem solch eine Wurzelfunktion benutzt wurde. Dann macht sqrt(-1) Sinn, aber die Wurzelgesetze gelten nicht mehr. Und das ist das, was Leopold meint.

14.02.2008, 11:48

Leopold

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RE: Komplexe Zashlen

Zitat:

Original von micha on heels
Man kann die komplexen Zahlen auch als 2x2-Matrizen mit der stinknormalen Matrizenmultiplikation als Multiplikationsregel definieren. Da steht a1 in der Hauptdiagonale und a2 mit wechselndem Vorzeichen in der Gegendiagonale. Diese Algebra ist isomorph zu meiner Lieblingsdefinition, also genauso gut.

Und erst noch das! Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \cong \mathbb{R}[X] / \mathfrak{a} \end{eqnarray*}$ , wo $\begin{eqnarray*} \mathfrak{a} \end{eqnarray*}$ das von $\begin{eqnarray*} X^2 + 1 \end{eqnarray*}$ erzeugte maximale Ideal ist. Hier ist $\begin{eqnarray*} \operatorname{i} = X \ \mathrm{mod} \ \mathfrak{a} \end{eqnarray*}$ .

14.02.2008, 12:39

system-agent

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@WebFritzi
Rein interessehalber: Was ist das dann für eine Wurzelfunktion?
Ich mein in komplexer Analysis haben wir gesehen, dass man keine hol. Wurzel auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ haben kann, das hiesse doch, dass diese Wurzel "eine Funktion ohne angenehme Eigenschaften" ist? (Ums mal mit den Worten vom Prof zu sagen smile

)

14.02.2008, 15:49

WebFritzi

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Ja, die Funktion ist doof. Man kann das z.B. so machen: Sei $\begin{eqnarray*} z = re^{it}\in\mathbb{C} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} r\ge 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t\in[0,2\pi). \end{eqnarray*}$ Dann definiere

$\begin{eqnarray*} \sqrt{z} := \sqrt{r}e^{i\frac{t}{2}}. \end{eqnarray*}$

Immerhin ist diese Funktion noch holomorph in $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}\setminus\mathbb{R}^+_0. \end{eqnarray*}$

14.02.2008, 18:40

Leopold

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Zitat:

Original von system-agent
@WebFritzi
Rein interessehalber: Was ist das dann für eine Wurzelfunktion?
Ich mein in komplexer Analysis haben wir gesehen, dass man keine hol. Wurzel auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ haben kann, das hiesse doch, dass diese Wurzel "eine Funktion ohne angenehme Eigenschaften" ist?

Du kannst ja in jedem Gebiet, das entsteht, wenn man aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ einen vom Ursprung ausgehenden Strahl entfernt, eine holomorphe Wurzel definieren. (Es müßte sogar gehen, wenn dieser Strahl "topologisch verbogen wird".) Allerdings ist diese Funktion niemals auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ holomorph, ja nicht einmal stetig fortsetzbar.

WebFritzis Beispiel zeigt das (bei ihm ist der Strahl, von dem ich oben geredet habe, die positive reelle Achse einschließlich 0): Seine Wurzel ist eindeutig auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ definiert, aber nicht stetig. So gilt mit der dortigen Festlegung zum Beispiel

$\begin{eqnarray*} \sqrt{z} \to 1 \ \ \mbox{für} \ z \to 1, \ \Im(z)>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{z} \to -1 \ \ \mbox{für} \ z \to 1, \ \Im(z)<0 \end{eqnarray*}$

Immerhin ist die Funktion aber auf $\begin{eqnarray*} G = \mathbb{C} - [0,\infty) \end{eqnarray*}$ holomorph. Was kann es - ganz im Sinne der komplexen Analysis - Schöneres geben? Und voller Freude stellen wir fest: $\begin{eqnarray*} \sqrt{-1} = \operatorname{i} \end{eqnarray*}$ ! Rechne es nach! Big Laugh

14.02.2008, 19:00

system-agent

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Dass man holomorphe Logarithmen und damit auch holomorphe Wurzeln bekommt wenn man einen Strahl rausschneidet wusste ich smile

Aber was meinst du mit "topologisch verborgen" ?

14.02.2008, 19:58

Leopold

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verbo(r)gen? Augenzwinkern

14.02.2008, 20:43

system-agent

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OK, überlesen Forum Kloppe

15.02.2008, 01:51

WebFritzi

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Nö, nicht verlesen. Das r war nur verborgen. Augenzwinkern

15.02.2008, 13:38

Leopold

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Topologisch verborgen sozusagen in der Klumpen-Topologie, in der $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ die einzigen offenen Mengen sind.

16.02.2008, 01:02

micha on heels

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Zitat:

Original von WebFritzi
Ja, die Funktion ist doof. Man kann das z.B. so machen: Sei $\begin{eqnarray*} z = re^{it}\in\mathbb{C} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} r\ge 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t\in[0,2\pi). \end{eqnarray*}$ Dann definiere

$\begin{eqnarray*} \sqrt{z} := \sqrt{r}e^{i\frac{t}{2}}. \end{eqnarray*}$

Immerhin ist diese Funktion noch holomorph in $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}\setminus\mathbb{R}^+_0. \end{eqnarray*}$

Dein Beispiel für eine sauber definierte Wurzelfunktion IN der Menge C finde ich toll, da es klar zeigt, woran die Originalfrage scheitert. In Polarkoordinaten entspricht -1 einer Drehung der 1 um 180 Grad (=pi). (-1)*(-1) entspricht damit einer Drehung um 2*pi. Man sieht sehr anschaulich, dass man dabei voll in den Ausschlussbereich deiner Wurzeldefinition hineintappt oder darüber hinwegfahren muss. Du hast den Definitionsbereich von t mit [0, 2*pi) schlau mit einer geschweiften Klammer als Symbol für eine rechtsseitig halboffene Menge hingeschrieben. Mit [0,2pi] - also ganz C - wäre deine Wurzel keine Funktion mehr. Den Ausschlussstrahl kann man beliebig wählen. Das muss nicht unbedingt die Teilmenge R+ sein. Vielleicht geht es auch mit einer konform deformierten Kurve!?

Mein Resumee: es gibt keine Definition einer Quadratwurzel als Funktion AUF der Menge C. In einer zusammenhängenden Teilmenge von C kann man schon eine Quadratwurzel als Funktion definieren, nur für solche Wurzeldefinitionen kann sqrt(z1*z2) = sqrt(z1)*sqrt(z2) definitiv falsch werden. Sogar wenn z1, z2 und z1*z2 alle im Definitionsbereich liegen. Therisen's lakonische Antwort trifft es garnicht so schlecht!

LG, micha

16.02.2008, 01:08

micha on heels

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RE: Komplexe Zashlen

Zitat:

Original von LeopoldUnd erst noch das! Augenzwinkern

16.02.2008, 10:57

Leopold

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@ micha on heels

Du solltest auch die Beiträge von anderen Leuten zumindest querlesen. Dann bräuchtest du Argumente nicht wiederholen, die schon längst besprochen wurden. Augenzwinkern

16.02.2008, 12:30

WebFritzi

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Zitat:

Original von Leopold
Dann bräuchtest du Argumente nicht wiederholen, die schon längst besprochen wurden.

Wer "brauchen" nicht mit "zu" gebraucht, braucht "bruachen" gar nicht zu gebrauchen Big Laugh

16.02.2008, 14:05

therisen

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@ micha on heels

Wenn du dich im Board registrierst, kannst du auch ein Avatar benutzen. Mein Vorschlag wäre

[attach]7611[/attach]

16.02.2008, 15:17

Leopold

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Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Original von Leopold
Dann bräuchtest du Argumente nicht wiederholen, die schon längst besprochen wurden.

Wer "brauchen" nicht mit "zu" gebraucht, braucht "bruachen" gar nicht zu gebrauchen Big Laugh

Ich wußte gar nicht, daß du schon so alt bist, daß du diesen verstaubten Paukerspruch noch kennst. Oh, war das jetzt gemein!

Es ist übrigens noch viel schlimmer: Es gibt Leute, die behaupten, "bräuchte" gebe es gar nicht.

19.02.2008, 06:48

micha without heels

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Zitat:

Original von therisen
@ micha on heels

Wenn du dich im Board registrierst, kannst du auch ein Avatar benutzen. Mein Vorschlag wäre

[attach]7611[/attach]

Ciao

19.02.2008, 12:51

WebFritzi

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@therisen: überflüssig.

Zitat:

Original von Leopold
Ich wußte gar nicht, daß du schon so alt bist, daß du diesen verstaubten Paukerspruch noch kennst.

Den kannte ich schon mit 13. Augenzwinkern

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Wo ist der Fehler :)

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