(Un)abhängigkeit von Ereignissen

24.08.2005, 17:53	aRo	Auf diesen Beitrag antworten »
(Un)abhängigkeit von Ereignissen Hallo! Wir sollen, glaub ich eigentlich ganz einfach, auf drei verschiedene Arten die (Un)abhängigkeit von 2 Ereignissen überprüfen! Aufgabe aus Klett, Lambacher Schweitzer Seite 16 Nr.7b): Es handelt sich um ein Roulette mit 37 Feldern mit den Zahlen 0 bis 36. Es werden 2 Ereignisse gegeben: A = (rote Zahl) B = (1,2......17,18); Also die erste Methode ist doch: für Unabhängigkeit müsste gelten: $\begin{eqnarray} P_A(B) = \frac{P(AundB)}{P(A)} \end{eqnarray}$ ich bekomme hier aber raus 18/37 = 7/18. (Es gibt 7 Überschneidungen von A und B). Also sehe ich, dass die Ereignisse abhängig von einander sind. Die 2.Methode ist so: $\begin{eqnarray} P(AundB)=P(A)P(B) \end{eqnarray}$ ? hier erhalte ich 7/37 = 18²/37. also auch abhängig? Bei der dritten sollen wir das irgendwie mit nem Baumdiagramm machen. Ich kann mir höchstens vorstellen dass er sowas meint: $\begin{eqnarray} P(B) = P(AundB)+P(\vec{A}undB) \end{eqnarray}$ (wo geht der Strich drüber? und dass dann wieder mit $\begin{eqnarray} P_A(B) \end{eqnarray*}$ vergleichen. Oder könnte er da was anderes meinen? Wäre ja dann im Prinzip irgendwie Methode 1. Vielen Dank! aRo
25.08.2005, 08:07	vrenili	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: (Un)abhängigkeit von Ereignissen Hallo aRo, zunächst einmal schreibe Dir auf, was bei Dir eigentlich die Grundmenge $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ ist. Das dürfte in diesem Fall, beim einmaligen Ziehen aus den 37 Kugeln die Menge $\begin{eqnarray} \{0,1,2,...,36\} \end{eqnarray}$ sein. Damit gilt: $\begin{eqnarray} \|\Omega\|=37 \end{eqnarray}$ Da für beliebeige Ereignismengen C gilt: $\begin{eqnarray} P(C)=\frac{\|C\|}{\|\Omega\|} \end{eqnarray}$ erhalten wir für: $\begin{eqnarray} A=\{1,3,5,7,9,12,14,16,18,19,21,23,25,27,30,32,34,36\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B=\{1,2,3,...,18\} \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} P(A)=\frac{18}{37} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} P(B)=P(A)=\frac{18}{37} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} P(A,B)=P({1,3,5,7,9,12,14,16,18})=\frac{9}{37} \end{eqnarray}$ (das nur vorab zur Begriffklärung und Übersicht) Die pure mathematische Definition für Unabhängigkeit zweier Ereignisse heisst: 1.Möglichkeit: Zwei Ereignisse A,B sind genau dann stoch. unabhängigg, wenn gilt: $\begin{eqnarray} P(A,B)=P(A)\cdot P(B) \end{eqnarray}$ Das würde ich zuerst prüfen. Für die bedingte Wahrscheinlichkeit gilt allgemein (also nicht nur für unabhängige Ereignisse): Wenn P(A)>0 dann gilt: $\begin{eqnarray} P_A(B)=\frac{P(A,B)}{P(A)} \end{eqnarray}$ Das obere (Definition Unabhängigkeit) in diese Formel eingesetzt ergibt die 2. Methode: 2.Möglichkeit: A,B sind genau dann unabhängig, wenn gilt: $\begin{eqnarray} P_A(B)=P(B) \end{eqnarray}$ Was da jetzt genau mit dem Baum gemeint ist... k.A., aber im Endeffekt wird das genau das gleiche sein wie in den ersten beiden Möglichkeiten (es genügt in jedem Fall, eine anzuwenden, da die alle äquivalent sind)
25.08.2005, 14:32	aRo	Auf diesen Beitrag antworten »
jo, vielen Dank! nur dein A stimmt nicht mit dem A aus dem Buch überein. Ist aber auch wurscht! Ich habs kapiert! Danke dir! aRo

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