Gauß Approximation

13.02.2008, 13:31	s82	Auf diesen Beitrag antworten »
Gauß Approximation Hallo, ich muss bei einer Aufgabe die Gaußapproximation anwenden.Ich habe dazu auch Formeln und ein Beispiel,leider werde ich aus diesem Beispiel nicht schlau.Ich gebe mal das Beispiel an. Gegeben: $\begin{eqnarray} x_1=-2 ; x_2=-1 ; x_3=0 ; x_4=1 ; x_5=2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y_1=2 ; y_2=1 ; y_3=0 ; y_4=2 ; y_5=2 \end{eqnarray}$ Formeln: $\begin{eqnarray} A=(a_{ij}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_{ij}=x^{j-1}_i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B=A^TA \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{b}=A^Ty \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{a}=Polynomkoeffizienten \end{eqnarray}$ Daraus entsteht das Gleichungssystem: $\begin{eqnarray} B\vec{a}=\vec{b}= \end{eqnarray}$ In diesem Beispiel hat er für A: $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & -1 \\ 1 & 0 \\1&1\\1&2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und für $\begin{eqnarray} A^T \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} A^T=\begin{pmatrix} 1 & 1&1&1&1 \\ x_1 & x_2&x_3&x_4&x_5 \\ x^2_1&x^2_2&x^2_3&x^2_4&x^2_5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich verstehe nicht wie man von A nach $\begin{eqnarray} A^T \end{eqnarray*}$ kommt,ich hätte mir die Transponierte von A anders vorgestellt.Ich hätte gedacht das Dann 2 Zeilen und 5 Spalten entstehen. Wäre schön wenn mir jemand helfen könnte.
13.02.2008, 14:28	pwm	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gauß Approximation Hallo, es kommt darauf an, ob Du ein Polynom ersten oder zweiten Grades näherungsweise durch die Punkte legen sollst. Deine Matrix A passt zum ersten Fall - und dann ist A^T falsch. Oder es geht um den zweiten Fall; dann ist A falsch unt A^T ist richtig. Gruß pwm
13.02.2008, 14:57	s82	Auf diesen Beitrag antworten »
Angenommen linear: Dann wäre B eine 5*5 Matrix aber der Vektor a geht von a0...a4 Für eine lineare approximation benötige ich doch nur a0 und a1 oder? Ich versteh das irgendwie nicht!
13.02.2008, 16:13	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Auf Grund der Dimensionen passen $\begin{eqnarray} A , A^T \end{eqnarray}$ nicht zusammen. Ferner muss apriori festgelegt werden, welcher Funktionstyp durch die "Datenwolke" zu legen ist. Ein anderer Name ist "least squares" Verfahren, hierzu mal ein Link: http://de.wikipedia.org/wiki/Methode_der_kleinsten_Quadrate
14.02.2008, 13:51	s82	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir mal bitte jemand sagen wie er für B auf dieses Ergebnis gekommen ist ich kann das irgendwie nicht nachvollziehen. $\begin{eqnarray} B=\begin{pmatrix} 5 & \sum_{i=0}^n~x_i & \sum_{i=0}^n~x^2_i \\ \sum_{i=0}^n~x_i & \sum_{i=0}^n~x^2_i & \sum_{i=0}^n~x^3_i \\ \sum_{i=0}^n~x^2_i & \sum_{i=0}^n~x^3_i & \sum_{i=0}^n~x^4_i \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die fünf kann ich noch nachvollziehen aber der Rest,keine Ahnung wie mein Prof. darauf gekommen ist.B bezieht sich auf diese Aufgabe
14.02.2008, 14:22	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Ausrechnen? $\begin{eqnarray} B=A^TA \end{eqnarray}$ Nur solltest du mal nachfragen, was wir oben schon sagten, $\begin{eqnarray} A^T \neq (A)^T \end{eqnarray*}$ Aber da ist der Prof wohl die beste Adresse.
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