rekursiv definierte Folge

13.02.2008, 17:39

PimpWizkid

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rekursiv definierte Folge

Heyho...

Ich habe eine oder zwei ... Fragen zu einer rekursiv definierten Folge. Wir haben heut im Tutorium die folgende Aufgabe bekommen:

Sei $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ stetig und $\begin{eqnarray*} a,a' \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ .
Zeige, dass $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ Grenzwert der rekursiv definierten Folge $\begin{eqnarray*} a_{n+1}=f(a_{n}) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_{0}:=a' \end{eqnarray*}$ .
Zeige weiter, dass daraus folgt, dass $\begin{eqnarray*} a=f(a) \end{eqnarray*}$ .

1. Wie geht das?
2. Was heißt das für mich, dass $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ Fixpunkt von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist? Ist das was Weltbewegendes?

Sorry, aber da blick ich nicht mal ansatzweise durch... wär nett, wenn mir das wer erklären könnte.

Danke,
Pimp

13.02.2008, 17:43

system-agent

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Zunächst mal:
Ein Fixpunkt einer Funktion $\begin{eqnarray*} f: D\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ ist einfach ein $\begin{eqnarray*} a\in D \end{eqnarray*}$ , für welches $\begin{eqnarray*} f(a)=a \end{eqnarray*}$ gilt.

Also zb ist $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ein Fixpunkt von $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} f(1)=1 \end{eqnarray*}$ .

13.02.2008, 17:47

PimpWizkid

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Sorry, ich hatte mich falsch ausgedrückt... was ein Fixpunkt ist weiß ich schon, nur war mir nicht klar was für eine Bedeutung das jetzt im Bezug auf die Aufgabe hat, bzw allgemein für derart rekursiv definierte folgen hat...

13.02.2008, 17:47

tmo

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da fehlt aber noch irgendeine angabe verwirrt

verwirrt

denn $\begin{eqnarray*} f(x)=2x \end{eqnarray*}$ erfüllt z.b. die vorraussetzung, dann wäre aber $\begin{eqnarray*} a_{n+1}-a_n = f(a_n)-f(a_{n-1}) = 2(a_n-a_{n-1}) \end{eqnarray*}$ , also definitiv keine Cauchy-Folge.

13.02.2008, 19:20

PimpWizkid

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Hmm da waren keine weiteren Infos gegeben... naja, werd ich morgen nochmal nachfragen und dann hier mehr dazu posten...

Gruß,
Pimp

13.02.2008, 20:34

PimpWizkid

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hmm ich hab zwar keine neuen Infos zur obigen Aufgabe, aber eine ganz andere Aufgabe:

Berechne den Grenzwert der Folge $\begin{eqnarray*} a_{n+1}=\frac{2a_{n}^{2}}{1+a_{n}^{2}} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_{1}=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

Also im Tutorium hat der Typ das so gemacht:

Er hat einfach $\begin{eqnarray*} a=\frac{2a^{2}}{1+a^{2}} \end{eqnarray*}$ gesetzt und dann nach $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ aufgelöst. Und dann als mögliche Grenzwerte $\begin{eqnarray*} a=0 \lor a=1 \end{eqnarray*}$ erhalten.

Frage 1: Wieso kann man das einfach so setzen?
Frage 2: Woher weiß ich das das mögliche Grenzwerte sind? Oder hat er nur gezeigt, das die Folge begrenzt ist?

Als nächstest hat er mit $\begin{eqnarray*} a_{n}-a_{n+q}=...\geq=0 \end{eqnarray*}$ gezeigt, dass die Folge monoton fallend ist. Daraus folgt dann, dass $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ Grenzwert der Folge ist.

Hmm könnt ihr mir helfen, das zu verstehen?

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13.02.2008, 20:44

Lazarus

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Zuerst muss man zeigen das die Folge begrenzt ist. Nach unten ist das ja nicht sonderlich aufregen, nach oben kann man das auch leicht tun. (wie ? irgendwelche ideen)

Das sollte also nicht das große problem darstellen.

Erstmal beweisen wir also, dass die folge überhaupt konvergiert. Dazu benutzen wir bolzanoweierstrass: monoton und beschränkt.
Beschränkt haben wir ja schon also machen wir noch monoton. Wie genau man das zeigt ist egal, sollte aber das richtige rauskommen.
Weisst du wie man monotonie bestimmt ?

Wenn wir das nun haben, bisher noch nicht sonderlich aufregend. wissen wir das a_n konvergent ist, also insbesonders
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty} a_{n+1} = a \end{eqnarray*}$ ist.

Also können wir ja die mit der rekursiven def einfach anschauen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}a_{n+1}&=&\lim_{n\to\infty} \frac{2a_{n}^2}{1+a_n^2}\\ a=\frac{2a^2}{1+a^2} \end{eqnarray*}$

Das ist dann ja genau das was der Tutor geschrieben hat.
Das auszurechnen ist dann wieder schulniveau.

13.02.2008, 21:00

PimpWizkid

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Also, da alles postiv ist, wird die Folge nach unten durch 0 begrenzt. Für die Begrenzung nach oben fällt mir allerdings nichts wirlich produktives ein...

13.02.2008, 21:04

tmo

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$\begin{eqnarray*} \frac{2a_n^2}{1+a_n^2} = \frac{a_n^2}{1+a_n^2} + \frac{a_n^2}{1+a_n^2} \end{eqnarray*}$

wie siehts jetzt mit den einzelnen summanden aus?

aber wenn du monotones fallen schon bewiesen hast, dann ist die beschränktheit nach oben sowieso trivial.

13.02.2008, 21:07

PimpWizkid

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Ok... kann ich evtl sagen, dass beide Summanden kleiner 1 sind und dann die Summe kleiner 2 ist?

13.02.2008, 21:11

tmo

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das ist eine korrekte argumentation. Freude

Freude

13.02.2008, 21:13

PimpWizkid

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Danke... jetzt muss ich also nur noch zeigen, dass die Folge monoton ist, oder?

13.02.2008, 21:13

tmo

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jop. schon eine idee? ein tipp: forme den term so um, dass $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ nur einmal vorkommt. dann geht das ganze mit induktion sehr leicht.

edit: alternativ kannst du auch einfach die ungleichung $\begin{eqnarray*} a_{n+1}<a_n \end{eqnarray*}$ äquivalent umformen. ist sogar einfacher eigentlich.

13.02.2008, 21:26

AD

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Zitat:

Original von PimpWizkid
Sei $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ stetig und $\begin{eqnarray*} a,a' \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ .
Zeige, dass $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ Grenzwert der rekursiv definierten Folge $\begin{eqnarray*} a_{n+1}=f(a_{n}) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_{0}:=a' \end{eqnarray*}$ .
Zeige weiter, dass daraus folgt, dass $\begin{eqnarray*} a=f(a) \end{eqnarray*}$ .

Beim Lesen des zweiten Satzes bekomme ich schon Kopfschmerzen: Was soll für dieses $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , von dem nichts weiter bekannt ist, gezeigt werden???

Ist es nicht eher so, dass die Aufgabe sinngemäß so lautet:

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ stetig und $\begin{eqnarray*} a,a' \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ .
Dabei sei vorausgesetzt, dass $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ der Grenzwert der rekursiv definierten Folge $\begin{eqnarray*} a_{n+1}=f(a_{n}) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_{0}:=a' \end{eqnarray*}$ ist.
Zeige $\begin{eqnarray*} a=f(a) \end{eqnarray*}$ .

Im vorliegenden Fall konnte rekonstruiert werden, was gemeint ist - bei schwierigeren Sachverhalten sind solche sinnentstellenden Umformulierungen tödlich. Wie oben zu sehen, war auch tmo irritiert...

13.02.2008, 22:19

PimpWizkid

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Ich schwör, dass ich es genau so von der Tafel abgeschrieben habe!

13.02.2008, 22:22

tmo

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das macht aber so keinen sinn, da erstens die konvergenz der folge so nicht entscheidbar ist und zweitens, warum sollte ein beliebig gewähltes $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ grenzwert der folge sein? schließlich kann eine folge nur einen einzigen grenzwert haben.

14.02.2008, 15:54

PimpWizkid

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Also ich zweifel nicht daran, dass die Aufgabe so nicht lösbar ist, sondern wollte damit nur sagen, dass ich die Aufgabe nicht sinnentstellend Umformuliert habe. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber ich werd mich jetzt mal mit der korrigierten Aufgabenstellung von Arthur Dent befassen.

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