Zusammenhang zwischen Kompaktheit und Vollständigkeit

25.08.2005, 10:18

Blabar

Zusammenhang zwischen Kompaktheit und Vollständigkeit

Hallo!
Ich grüble seit ein Paar Tagen an der vollgenden Frage rum.

Gegeben sei ein Metrischer Raum (E,d)
In meinen Skript steht dass in Metrischen Räumen, Kompaktheit äquivalent zu Vollständigkeit und Präkompaktheit ist. Die Definition von Präkompaktheit verstehe ich auch nicht so gut unglücklich

Menge A ist Präkompakt falls es für alle Epsilons eine endliche Überdeckung O_i von A gibt mit diam(O_i) < epsilon, für alle i. Darunter dass ich diese Definition nicht so richtig verstehe meine ich dass ich mir nicht so richtig vorstellen kann was man mit ihr meint, bzw. was ich mir darunter vorstellen muss. (entschuldigt bitte dass ich mir was überhaupt was "vorstellen" will Augenzwinkern

)
Ich hab auch den Eindruck dass mein Problem auch damit zu tun hat, dass ich nur in IR denke, wo nach meiner Meinung alle Vollständigen Teilmengen auch kompakt sind.
Wahrscheinlich ist meine letzte Aussage falsch, aber ich blicke einfach nicht durch.

Danke,
Gruß Blabar

25.08.2005, 10:44

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Zitat:

Original von Blabar
Ich hab auch den Eindruck dass mein Problem auch damit zu tun hat, dass ich nur in IR denke, wo nach meiner Meinung alle Vollständigen Teilmengen auch kompakt sind. Wahrscheinlich ist meine letzte Aussage falsch, aber ich blicke einfach nicht durch.

Ja, das ist falsch - auch in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Nimm als Teilmenge z.B. $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ selbst: $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist vollständig, aber nicht kompakt.

Und präkompakt ist im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ - wenn ich mich richtig erinnere - gleichbedeutend mit beschränkt.

25.08.2005, 12:37

Blabar

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Zitat:

Oh!! Das habe ich übersehen!
Kann es sein dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ die einzige Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist, die ich übersehen hab?
Wenn ich zum Beispiel an den Intervallen denke, z.b. ]a,b] oder ]a,b[ , dann sind sie immer, oder beide vollständig und kompakt, oder beide nicht vollständig und nicht kompakt.
Wenn deine Vermutung aber richtig ist (über die Bedeutung der präkompaktheit in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ) , dann würde ich auf der Suche von einer Teilmenge von \mathbb{R} sein, die vollständig aber nicht beschränkt ist. Das gilt aber nur für $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .
Also wäre dann $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ die einzige Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ die vollständig aber nicht kompakt ist. Ist das richtig? Meinst du das gilt vielleicht dann nur für endlich - dimensionale Räume, oder auch für unendlich-dimensionale auch?
Wahrscheinlich das erste.. kann aber nur raten.

Am meisten würde mich aber interessieren ob du mir den zusammenhang zwischen präkompaktheit und beschränktheit näher bringen könntest, bzw. warum du behauptest das sie im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ äquivalent sind.

Danke für deine Antwort
mfg.
Blabar

25.08.2005, 13:25

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Zitat:

Original von Blabar
dann würde ich auf der Suche von einer Teilmenge von \mathbb{R} sein, die vollständig aber nicht beschränkt ist. Das gilt aber nur für $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

Wieder falsch - Gegenbeispiele: $\begin{eqnarray*} [a,\infty) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (-\infty,a] \end{eqnarray*}$

25.08.2005, 15:34

Blabar

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RE: Zusammenhang zwischen Kompaktheit und Vollständigkeit
OK! Ich gebe mich geschlagen! Augenzwinkern

Vielen dank für deine Antworten!
Gruß
Blabar

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