Flächeninhalt Fünfeck

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Malcolm Auf diesen Beitrag antworten »
Flächeninhalt Fünfeck
Hallo,

Durch die Punkte P1(0;2), P2(4;2), P3(6;0), P4(4;5) und P5(3;3) ist ein Fünfeck gegeben. Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Fünfecks. Hinweis: Teilen Sie das Fünfeck geeignet in Dreiecke auf.

Laut Lösung sollte das Ergebnis 6,5 herauskommen. Leider beinhaltet diese Lösung aber keinen Rechenweg.

Bei meiner Rechnung komme ich auf das Ergebnis 7. Ich hab das Fünfeck in zwei Dreiecke aufgeteilt. Mit Hilfe der Vektoren habe ich die Länge der Seiten bestimmt und anschließend die Höhe des Dreiecks durch eine Projektion bestimmt. Mit der Höhe und der Länge der Seiten konnte ich dann die Flächeninhalte der beiden Dreiecke bestimmen und somit auch den Flächeninhalt des gesamten Dreiecks bestimmen.

Kann mir einer sagen welches Ergebnis richtig ist und falls ich einen Fehler gemacht habe wo dieser liegt bzw. wie die beste Rechenmethode zu dieser Aufgabe ist.

Vorab schonmal danke
Poff Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Flächeninhalt Fünfeck
Du kannst das ja auch mal trigonometrisch, per Kosinussatz oder
passenderem rückverifizieren ...
...
 
 
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Flächeninhalt Fünfeck
Hi!

Das geht weit einfacher, wenn die Koordinaten der Punkte gegeben sind und sich ausserdem das Ganze in R2 abspielt. Die geometrischen bzw. trigonometrisch vermessenden Methoden verkomplizieren hier nur unnötig den Rechenweg!

Der Flächeninhalt A eines Dreieckes P1(x1|y1), P2[x2|y2), P3(x3|y3) kann nach der Formel (zyklische Flächenformel 1,2,3 - 2,3,1 - 3,1,2)

2A = |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)|

bestimmt werden.

Aber auch in R3 gibt es entsprechende Beziehungen, wonach aus den Vektoren direkt die von ihnen eingeschlossenen Fläche bestimmt werden kann.

Ein (konvexes) Fünfeck zerfällt normalerweise (im Allgemeinen) in 3 Dreiecke. Man muss die Zerlegung geeignet durchführen, sodass alle Dreiecke innerhalb des Fünfeckes liegen. Weil die Punkte P3, P2, P5 auf einer Geraden liegen, gelingt hier die Zerlegung in zwei Dreiecke P3P4P5 und P1P2P5.

2A1 = 6*2 + 4*3 + 3*(-5) = 9
A1 = 4,5

2A2 = 0*(-1) + 4*1 + 3*0 = 4
A2 = 2

A = 6,5 FE

Gr
mYthos
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