L'Hospital

13.02.2008, 23:18	el-David	Auf diesen Beitrag antworten »
L'Hospital $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty } \frac{ln(x+1)+cos(x)}{ln(x-1)} \end{eqnarray}$ Mein Problem ist, dass ich nicht weiß, wie ich hier auf den Grenzwert komme. L'Hospital bringt mich ja anscheinend nicht weiter. Sprich, die Regel ist doch nicht direkt anwendbar, oder? Gibt es einen allgemeinen Trick dafür?
13.02.2008, 23:21	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
warum sollte L'Hospital nicht anwendbar sein?
13.02.2008, 23:22	el-David	Auf diesen Beitrag antworten »
Anwendbar schon, aber es bringt mich nicht auf den Grenzwert.
13.02.2008, 23:34	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, wie wäre es wenn du die Summe aufteilst. cos(x) ist beschränkt, deswegen konvergiert der letzte Summand gegen 0. Bleibt also nur noch $\begin{eqnarray} \lim\limits_{x\to\infty} \frac{\ln (x+1)}{\ln (x-1)} \end{eqnarray}$ übrig und das ist einfach bestimmbar
13.02.2008, 23:37	el-David	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist eine Regel? Ist der Zählerterm beschränkt und der Nenner wächst gegen unendlich, geht das gesamt gegen null? Ich hätte vermutet, dass das nicht bestimmt ist :S
13.02.2008, 23:51	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja das ist ein Satz. Ist auch ziemlich einfach zu beweisen: Sei $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{Z(x)}{N(x)} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|Z(x)\| < M \forall x\in\mathbb R \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lim\limits_{x\to\infty} N(x) = \infty \end{eqnarray}$ dann ist: $\begin{eqnarray} \frac{-M}{Z(x)} < \frac{N(x)}{Z(x)} < \frac{M}{Z(x)} \end{eqnarray}$ . Die beiden äußeren Terme gehen jeweils gegen 0, deswegen muss der innere auch gegen 0 gehen
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13.02.2008, 23:53	el-David	Auf diesen Beitrag antworten »
danke, jetzt hab ichs
15.02.2008, 08:10	Charles31415	Auf diesen Beitrag antworten »
Bleibt weiterhin die Frage, wie das mit l'Hôpital geht !? Da Zähler und Nenner sauber gegen +\infty gehen, sollte es anwendbar sein, ergibt aber dann $\begin{eqnarray} \lim_{x\to\infty}\frac{1/(x+1)-\sin(x)}{1/(x-1)}=\frac{0+[-1..1]}{0}\neq 1 \end{eqnarray}$
15.02.2008, 08:32	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt hat man extra nen Tipp gegeben und bewiesen - und du ignorierst ihn $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x+1) + \cos x}{\ln (x-1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x+1)}{\ln (x-1)} + \underbrace{\frac{\cos x}{\ln (x-1)}}_{\to 0} = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x+1)}{\ln (x-1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x+1}}{\frac{1}{x-1}} = \lim_{x \to \infty} \frac{x-1}{x+1} \end{eqnarray}$ Und nun ist das doch kein Ding mehr, oder? air

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