ungleichung mit ln( ) lösen

14.02.2008, 11:29

sabai

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ungleichung mit ln( ) lösen

hi, folgende ungleichung ist mir gestellt.

$\begin{eqnarray*} ln(x) - 2ln(2-x) + ln(2x) > ln(3) \end{eqnarray*}$

alles e-hoch nehmen

$\begin{eqnarray*} x - e^{2ln(2-x)} + 2x > 3 \end{eqnarray*}$

jetzt bin ich mir nicht sicher, darf ich das ln(2-x) aus dem exponente rausziehn und das dann so schreiben (2-x)*e^2 ?

14.02.2008, 11:41

tigerbine

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RE: ungleichung mit ln( ) lösen
$\begin{eqnarray*} \ln(x) - 2 \ln(2-x) + \ln(2x) > \ln(3) \end{eqnarray*}$

Die Rechenregeln:

$\begin{eqnarray*} \log_a (x \cdot y) = \log_a (x) + \log_a (y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \log_a \left( x^r \right) = r \cdot \log_a (x) \end{eqnarray*}$

Also

$\begin{eqnarray*} \ln\left(\frac{x\cdot 2x}{(2-x)^2}\right) > \ln(3) \end{eqnarray*}$

Nun ist der \ln streng monoton steigend. Es ergibt sich

$\begin{eqnarray*} \frac{x\cdot 2x}{(2-x)^2} > 3 \end{eqnarray*}$

Dein "alles hoch e" ist falsch. Denn das würde so aussehen:

$\begin{eqnarray*} e^{\ln(x) - 2 \ln(2-x) + \ln(2x)} > e^{\ln(3)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{\ln(x)}\cdot e^{- 2 \ln(2-x)}\cdot e^{\ln(2x)} > e^{\ln(3)} \end{eqnarray*}$

14.02.2008, 11:47

sabai

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ohhhman, dies log aufgaben werd ich nie richtig machen.

bzgl. des e-hoch.

ich dachte e^ln(x) = x weil e-hoch und ln sich gegenseitig "aufheben" ?!

Wieso ist die Begründung das der ln monoton steigend ist den die erlaubnis die ln wegfallen zu lassen?

spätestens jetzt hätte ich, wenn ich es den überhaupt soweit geschafft hätte, die sache mit dem e-hoch benutzt.

14.02.2008, 11:50

tigerbine

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Zitat:

ich dachte e^ln(x) = x weil e-hoch und ln sich gegenseitig "aufheben

Das stimmt ja auch. Nur dein "+" dazwischen ist falsch. Du kommst dann auf des gleiche, wie mit der Monotonie Begründung. Die klappt eben auch bei anderen Funktionen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.02.2008, 11:53

sabai

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ahso

also ist

ln(x) - ln(y) | e-hoch
x - y

= falsch

ln(x) - ln(y)
ln(x/y) | e-hoch
x/y

= richtig

also immer erst zusammenfassen bei addition/subtraktion, ansonsten ist es falsch?!

14.02.2008, 12:18

sabai

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RE: ungleichung mit ln( ) lösen
wie lös ich das den jetzt auf, da hab ich auch probleme mit

$\begin{eqnarray*} \frac{x\cdot 2x}{(2-x)^2} > 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2x²}{x²-4x+4} > 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x² > 3(x²-4x+4) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x² > 3x²-12x+12) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -x² > -12x+12) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -x² +12x > 12) \end{eqnarray*}$

wie muss ich den jetzt weiter machen, irgendwie drehe ich mich jetzt im kreis. wie krieg ich den jetzt die lösungsmenge raus?

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14.02.2008, 12:20

klarsoweit

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Ja. Du mußt doch nur Potenzregeln beachten. Wenn du a + b "e-hoch" nimmst, hast du erstmal $\begin{eqnarray*} e^{a+b} \end{eqnarray*}$ da stehen und es ist dann $\begin{eqnarray*} e^{a+b} = e^a \cdot e^b \neq e^a + e^b \end{eqnarray*}$ .

14.02.2008, 12:20

tigerbine

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RE: ungleichung mit ln( ) lösen
Schon mal was von quadratischen Ungleichungen gehört? -> Lösungsformel (abc oder pq) und ein bisserl denken

@klarsoweit: Dein Kommentar bezog sich auf die vorherige Antwort des Fragestellers?

14.02.2008, 12:25

klarsoweit

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RE: ungleichung mit ln( ) lösen

Zitat:

Original von tigerbine
@klarsoweit: Dein Kommentar bezog sich auf die vorherige Antwort des Fragestellers?

Ja. Ich finde es immer wieder frustrierend. Als ich in den Thread reinging, warst du abgemeldet und der nächste Post von sabai war noch nicht da.

Bei quadratischen Ungleichungen nutze ich am liebsten die Faktorisierung mit quadratischer Ergänzung oder anderen geeigneten methoden.

14.02.2008, 12:33

sabai

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RE: ungleichung mit ln( ) lösen
ja, aber das rechnen mit ungliechungen hab ich net so richtig drauf.....aber ich versuchs mal.

$\begin{eqnarray*} \frac{x\cdot 2x}{(2-x)^2} > 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2x²}{x²-4x+4} > 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x² > 3(x²-4x+4) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x² > 3x²-12x+12) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -x² > -12x+12) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -x² +12x > 12 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x² +12x -12< 0 \end{eqnarray*}$

p/q

x²+12x-12=0

$\begin{eqnarray*} -\frac{-12}{2} +/- \sqrt{(\frac{12}{2})² + 12} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -6 + \sqrt{48}= 0.928 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -6 - \sqrt{48}= -12.928 \end{eqnarray*}$

was sagen mir jetzt die nullstellen über die lösungsmenge aus(sorry, ich weis es wirklich nicht mehr. schule ist lange her und gemacht hab ich das thema damals glaub ich nicht so intensiv. wie das evtl. heute der fall ist, ich muss mich da komplett neu einarbeiten und fang wie jeder schüler wieder bei null an)

14.02.2008, 13:05

tigerbine

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RE: ungleichung mit ln( ) lösen
$\begin{eqnarray*} \frac{x\cdot 2x}{(2-x)^2} > 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2x^2}{x^2-4x+4} > 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x^2 >3x^2-12x+12 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0>x^2-12x+12 \end{eqnarray*}$

Nullstellen:

$\begin{eqnarray*} x_{1,2} = \frac{12 \pm \sqrt{12^2-4\cdot 1\cdot 12}}{2\cdot 1} =\frac{12 \pm \sqrt{120}}{2} = 6 \pm \sqrt{30} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathbb L = ]6-\sqrt{30},2[ \end{eqnarray*}$

Bedenke am Anfang gleich die Definitionsmenge aufzustellen.

14.02.2008, 13:09

klarsoweit

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RE: ungleichung mit ln( ) lösen

Zitat:

Original von sabai
$\begin{eqnarray*} -x² +12x > 12 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x² +12x -12< 0 \end{eqnarray*}$

Wieso verschwindet das Minus vor x² und das >-Zeichen wird zu < ? verwirrt

verwirrt

Zitat:

Original von tigerbine
Nullstellen:

$\begin{eqnarray*} x_{1,2} = \frac{12 \pm \sqrt{12^2-4\cdot 1\cdot 12}}{2\cdot 1} =\frac{12 \pm \sqrt{120}}{2} = 6 \pm \sqrt{30} \end{eqnarray*}$

144 - 48 = 120 ? unglücklich

unglücklich

14.02.2008, 13:36

sabai

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RE: ungleichung mit ln( ) lösen
@klarsoweit
da hab ich mich wieder selbst ausgestrickst

-x² + 12x < 12 |*(-1)
x² - 12x < -12 | +12
x²-12x+12 < 0

$\begin{eqnarray*} x_1 = 6 + \sqrt{24} = 10.89 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2 = 6 - \sqrt{24} = 1.10 \end{eqnarray*}$

die lösungen geben mir jetzt den bereich der lösungsmenge an?

also links und rechtsseitige offenes intervall

]1.10,10.89[

oder wie interpretier ich die zahlen richtig?

(der definitionsbereich ist x>0; x < 2 , wie spielt das noch in die lösungsmenge hinein oder stehen von einander unabhängig)

14.02.2008, 13:51

klarsoweit

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RE: ungleichung mit ln( ) lösen

Zitat:

Original von sabai
-x² + 12x < 12 |*(-1)

Das war ursprünglich -x² + 12x > 12 Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du hast jetzt die Nullstellen. Da das eine nach oben geöffnete Parabel ist, ist eigentlich sofort klar, in welchem Bereich die Funktionswerte negativ sind. ]1.10,10.89[ stimmt also. Das mußt du dann natürlich noch mit deinem Definitionsbereich in Einklang bringen.

Noch ein paar formale Sachen:

Zitat:

Original von sabai
$\begin{eqnarray*} \frac{x\cdot 2x}{(2-x)^2} > 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2x²}{x²-4x+4} > 3 \end{eqnarray*}$

Hier würde ich den Nenner noch nicht ausmultiplizieren, sondern erstmal mit dem Nenner multiplizieren und dabei anmerken, daß dieser immer positiv ist und somit das Ungleichheitszeichen sich nicht verändert.

Zitat:

Original von sabai
$\begin{eqnarray*} -x² > -12x+12) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -x² +12x > 12 \end{eqnarray*}$

An dieser Stelle brauchtest du auf die erste Ungleichung nur x² addieren und du hast die benötigte Form. Das ganze Gewurschtel mit hinterher mal -1 wäre dann obsolet. smile

smile

14.02.2008, 14:08

sabai

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RE: ungleichung mit ln( ) lösen

Zitat:

Original von klarsoweit

Du hast jetzt die Nullstellen. Da das eine nach oben geöffnete Parabel ist, ist eigentlich sofort klar, in welchem Bereich die Funktionswerte negativ sind. ]1.10,10.89[ stimmt also. Das mußt du dann natürlich noch mit deinem Definitionsbereich in Einklang bringen.

mit dem Definitionsbereich

]1.10 , 2[

da ja x <2 sein muss

wieso is das den eine parable......mir is das eigentlich sofort unklar traurig

traurig

14.02.2008, 14:20

tigerbine

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RE: ungleichung mit ln( ) lösen

Zitat:

Original von tigerbine
Nullstellen:

$\begin{eqnarray*} x_{1,2} = \frac{12 \pm \sqrt{12^2-4\cdot 1\cdot 12}}{2\cdot 1} =\frac{12 \pm \sqrt{120}}{2} = 6 \pm \sqrt{30} \end{eqnarray*}$

Herjee, da hab ich ja was verbockt. Ups

Ups

$\begin{eqnarray*} x_{1,2} = \frac{12 \pm \sqrt{12^2-4\cdot 1\cdot 12}}{2\cdot 1} =\frac{12 \pm \sqrt{96}}{2} = 6 \pm \sqrt{24} \end{eqnarray*}$

14.02.2008, 14:57

klarsoweit

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RE: ungleichung mit ln( ) lösen

Zitat:

Original von sabai
wieso is das den eine parable......mir is das eigentlich sofort unklar traurig

traurig

Es ging zum Schluß um die Lösung von x²-12x+12 < 0 .

Wie man wissen sollte, ist g(x)=x²-12x+12 eine nach oben geöffnete Parabel. Wenn man also wissen will, wo diese im negativen Bereich verläuft, dann braucht man nur die Nullstellen. Zwischen diesen ist die Funktion g(x) negativ. smile

smile

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