Unabhängigkeit Zufallsgrößen N(0,1)

14.02.2008, 12:39

XXIII

Unabhängigkeit Zufallsgrößen N(0,1)

hallo, habe eine aufgabe aus einem prüfungskomplex nicht wirkli lösen können, vll könnt ihr mir helfen. hier die aufgabe:

Es seien $\begin{eqnarray*} \xi_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \xi_2 \end{eqnarray*}$ unabhängige $\begin{eqnarray*} N(0,1) \end{eqnarray*}$ verteilte Zufallsgrößen. Es gelte
$\begin{eqnarray*} \eta_1 = \xi_1 + \xi_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \eta_2= \xi_1 - \xi_2 \end{eqnarray*}$

a: sind $\begin{eqnarray*} \eta_{1/2} \end{eqnarray*}$ unabhängig?
b: sind $\begin{eqnarray*} \eta_{1/2} \end{eqnarray*}$ unkorreliert?

b habsch schon raus, aber die a krieg i irgendwie net hin. vielen dank für euer bemühen
mfg. XXIII

14.02.2008, 12:48

therisen

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Berechne doch mal die gemeinsame Dichtefunktion von $\begin{eqnarray*} (\eta_1,\eta_2) \end{eqnarray*}$ (zum Beispiel mit Hilfe der Transformationsformel).

14.02.2008, 13:21

Dual Space

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Btw. war es bei dieser Aufgabe strategisch unklug b) vor a) zu beantworten. Denn wenn man zeigen kann, dass a) mit "Ja" zu beantworten ist, so lautet die Antwort fuer b) zwangslaeufig auch "ja". Augenzwinkern

14.02.2008, 14:46

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Wobei Unkorreliertheit der Komponenten eines mehrdimensional normalverteilten Zuallsvektors (und um einen solchen handelt es sich bei $\begin{eqnarray*} \eta = (\eta_1,\eta_2) \end{eqnarray*}$ ) gleichbedeutend ist mit deren Unabhängigkeit. Aber vielleicht dient diese Aufgabe ja gerade erst der Vorbereitung dieser Erkenntnis. Augenzwinkern

Ist übrigens nicht zu verwechseln mit dem Beispiel, wo zwar die Komponenten, aber nicht der Vektor normalverteilt sind.

14.02.2008, 15:29

XXIII

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ich kriegs grade noch net so richtig hin, aber ich weiss wie ich b rauskrieg, bei a steh i aufm schlauch

14.02.2008, 15:36

therisen

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$\begin{eqnarray*} g:\mathbb R^2\to\mathbb R^2, \quad(x_1,x_2) \mapsto (x_1+x_2,x_1-x_2) \end{eqnarray*}$ ist ein Diffeomorphismus mit nichtverschwindender Jacobi-Determinante und Umkehrabbildung $\begin{eqnarray*} g^{-1}(y_1,y_2)=\left(\frac{y_1+y_2}2,\frac{y_1-y_2}2\right) \end{eqnarray*}$ .

14.02.2008, 16:10

XXIII

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RE: Unabhängigkeit Zufallsgrößen N(0,1)
So, jetz hab ichs raus, ich tipps mal, vll interessierts ja wen:
da a ja aus b folgt (bei normalverteilung sind unkorreliertheit und unabhängigkeit äquivalent) zeige ich mal b und dann fällt a gleich mit um:

haben also $\begin{eqnarray*} \xi_1, \xi_2 \end{eqnarray*}$ mit verteilung $\begin{eqnarray*} N(0,1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \eta_1=\xi_1+\xi_2\;\;\;\eta_2=\xi_1-\xi_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E( \xi_1)=E( \xi_2 )=0 ;\;\;\;D( \xi_1 )=D( \xi_2 ) = 1 \end{eqnarray*}$

also:
$\begin{eqnarray*} E(\eta_1)=E(\xi_1 + \xi_2)= E ( \xi_1 ) + E ( \xi_2 ) =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E(\eta_2)=E(\xi_1-\xi_2)=E(\xi_1)-E(\xi_2)=0 \end{eqnarray*}$

jetzt haben wir ja

$\begin{eqnarray*} D(\xi_i)=1=E(\xi_i)-(E(\xi_i))^2 \end{eqnarray*}$

und somit
$\begin{eqnarray*} 1=E(\xi_i^2)-0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cov(\eta_1,\eta_2)=E((\eta_1-E(\eta_1))(\eta_2-E(\eta_2)))=E(\eta_1\eta_2)=E(\xi_1^2-\xi_2^2)=1-1=0 \end{eqnarray*}$

und ich bin damit glücklich smile

vielen dank für eure hilfe
irgendwelche einwände?

14.02.2008, 16:24

therisen

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RE: Unabhängigkeit Zufallsgrößen N(0,1)

Zitat:

Original von XXIII
$\begin{eqnarray*} D(\xi_i)=1=E(\xi_i)-(E(\xi_i))^2 \end{eqnarray*}$

Da hast du ein Quadrat vergessen, aber ansonsten sehe ich keinen weiteren Fehler.

14.02.2008, 16:37

XXIII

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RE: Unabhängigkeit Zufallsgrößen N(0,1)
ja, danke

14.02.2008, 22:56

Dual Space

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Wobei Unkorreliertheit der Komponenten eines mehrdimensional normalverteilten Zuallsvektors (und um einen solchen handelt es sich bei $\begin{eqnarray*} \eta = (\eta_1,\eta_2) \end{eqnarray*}$ ) gleichbedeutend ist mit deren Unabhängigkeit. Aber vielleicht dient diese Aufgabe ja gerade erst der Vorbereitung dieser Erkenntnis. Augenzwinkern

Und wieder was gelernt ... smile

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