Integralidentität, Integral

14.02.2008, 13:20

Nordmann

Integralidentität, Integral

Hey,

Ich habe 2 kleine Fragen

1. Zu zeigen: $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~x^{-x}~dx =\sum_{k=1}^\infty~n^{-n} \end{eqnarray*}$

Wie soll ich das tun? Es hört sich verdächtig nach Riemannschen Summen an, oder bin ich da auf dem Holzweg? Andererseits könnte man wahrscheinlich
$\begin{eqnarray*} x^{-x}=e^{-log~x}=\sum_{k=0}^{\infty}~\frac{(-x~log~x)^k}{k!} \end{eqnarray*}$
verwenden. Dann wäre wahrscheinlich auch ein Induktionsbeweis möglich, oder wie? Kann mir jemand einen Tip geben, was soll ich tun? (Bei der vollst. Induktion laufe ich ziemlich im Kreis und finde keine Lösung)

2. Gesucht: $\begin{eqnarray*} \int~\frac{1}{1+a~sinh^2x}~~~~,~~~~a >0 \end{eqnarray*}$

Folgendes habe ich mir überlegt:

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{1}{1+a~sinh^2x}dx=\int~\frac{1}{1+a~(-i~sin(i~x))^2}dx=\int~\frac{1}{1-a~sin(ix)^2}dx \end{eqnarray*}$

Wäre der Parameter a nicht, hätte man als Lösung nen Tangens, aber mit dem a bringe ich das so nicht zu Stande. Bin ich weit entfernt von der Lösung? Und sehe ich das richtig, dass für dieses spezielle Beispiel die Integrationsregeln auch für die komplexen Zahlen erhalten bleiben?

14.02.2008, 13:26

Dual Space

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RE: Integralidentität, Integral

Zitat:

Original von Nordmann
1. Zu zeigen: $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~x^{-x}~dx =\sum_{k=1}^\infty~n^{-n} \end{eqnarray*}$

Der Summationsindex ist sicher nicht k. Also noch mal sauber aufschreiben, was zu zeigen ist.

14.02.2008, 13:34

Frooke

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Die Idee mit

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^1\frac{1}{x^x}\dx = \int\limits_0^1\mathrm{e}^{-x\ln x}\dx = \int\limits_0^1\sum_{n=0}^\infty\frac{(-x\ln x)^n}{n!}\dx = \sum_{n=0}^\infty\int\limits_0^1\frac{(-x\ln x)^n}{n!}\dx = ... \end{eqnarray*}$

ist korrekt. Versuche einen Ausruck für $\begin{eqnarray*} \int\limits_0^1(-x\ln x)^n\dx \end{eqnarray*}$ zu finden.

15.02.2008, 11:03

Nordmann

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Ja, natürlich ist der Summationsindex n.

Ich habe einen Ausdruck gefunden (indem ich für q=1 bis 3 den Ausdruck etwas genauer betrachtet habe), mit dem man schlussendlich zum richtigen Resultat gelangt, aber ich kann ihn nicht beweisen.

$\begin{eqnarray*} \int(-x~~ln~x)^q~dx=\frac{(-1)^{n-1}~x^n~~\sum_{k=1}^n~((-1)^{k+1}~(n~ln~x)^{n-k}~~ \prod_{p=1}^{k-1} (n-p)~)}{n^n} \end{eqnarray*}$

mit n=q+1

Sieht etwas unhübsch aus, aber das $\begin{eqnarray*} n^n \end{eqnarray*}$ braucht man am Schluss, also bietet sich diese Wahl der Indizes an. Wie könnte ich sinnvoll beweisen, dass dieser Ausruck dem gesuchten entspricht?

15.02.2008, 12:04

WebFritzi

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Ich weiss nicht, ob deine Formel stimmt. Ich moechte nur bemerken, dass du eine Stammfunktion anstatt eines bestimmten Integrals berechnet hast...

Mein Tipp waere: Stelle eine Vermutung auf und verwende die vollst. Ind., um diese zu beweisen. Innerhalb der Induktion kommt man evtl. mit partieller Integraltion weiter.

15.02.2008, 13:35

Leopold

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Um WebFritzis Beitrag zu ergänzen: Zeige nämlich für ganzzahliges $\begin{eqnarray*} k \geq 1 \end{eqnarray*}$ die Beziehung

$\begin{eqnarray*} \int_0^1~x^n \left( \ln x \right)^k~\mathrm{d}x = - \frac{k}{n+1} \int_0^1~x^n \left( \ln x \right)^{k-1}~\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

Dabei ist es sinnvoll, die partielle Integration für das bestimmte Integral auszuführen. Und man sollte noch viel Gedankenschärfe darauf verwenden, warum es an der unteren Grenze letztlich keine Schwierigkeiten gibt.

Starte dann mit $\begin{eqnarray*} k=n \end{eqnarray*}$ und rechne zurück, bis du bei $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ bist. Oder formeller: Induktion.

17.02.2008, 18:17

Mathespezialschüler

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Hallo.
Falls ich gerade nicht vollkommen 'blind' bin, würde ich gerne darauf aufmerksam machen, dass man sich natürlich vorher darüber im Klaren sein sollte, warum man die Summation und die Integration vertauschen darf. Wenn ich das richtig mitbekommen habe, ist diesbezüglich noch kein Wort gefallen.
Als Stichwort nenne ich hier einmal die gleichmäßige Konvergenz der gefunden Funktionenreihe (auf dem relevanten Intervall).

17.02.2008, 19:45

Frooke

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Ja stimmt. Deswegen habe ich die Gleichungskette bis zu diesem Punkt hingeschrieben, darauf aufmerksam gemacht habe ich allerdings nicht... (aber bei der Exp-Funktion ist man sich einfach gewohnt, dass alles so schön und nett ist Augenzwinkern

).

EDIT: Ich geb noch einen Tipp: Versuche das hier zu beweisen:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 x^p\ln{(x)}^pdx=(-1)^p\frac{p!}{(p+1)^{p+1}} \end{eqnarray*}$

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