Zuverlässigkeitswahrscheinlichkeit: Überlegungsfehler [Titel geändert]

25.08.2005, 20:52

Protector1982

Zuverlässigkeitswahrscheinlichkeit: Überlegungsfehler [Titel geändert]

Gegeben ist das abgebildete Netzwerk mit jeweils zwei gekoppelten Elementen vom Typ 1, 2, 3. Das System funktioniert, wenn ein Weg von E nach A existiert, der nur uber funktionstuchtige Elemente verläuft. Alle Elemente unterschiedlichen Typs funktionieren unabhängig voneinander. Die gekoppelten Elemente fallen immer gleichzeitig aus. Beide Elemente vom Typ i, $\begin{eqnarray*} i\in {1, 2, 3} \end{eqnarray*}$ , sind mit Wahrscheinlichkeit pi intakt und mit Wahrscheinlichkeit 1 - pi defekt, wobei p1 = 0.8, p2 = 0.4 und p3 = 0.3 ist. Mit welcher Wahrscheinlichkeit funktioniert das System?
|_1___2|
E_1___3A
|_2___3|

Meine Überlegung war:
Laut Aufgabenstellung sind die Bauteile unabhänig! Somit ist
$\begin{eqnarray*} P(A\cap B)= P(A)\cdot P(B) \end{eqnarray*}$
Nach dem Schaubild, funktioniert die Schaltung nur, wenn:
$\begin{eqnarray*} S=P(1\cap 2)\vee P(1\cap 3)\vee P(2\cap 3)\vee P(1\cap 2\cap 3) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =0,8\cdot 0,4+0,8\cdot0,3+0,4\cdot 0,3+0,8\cdot0,4\cdot0,3=0,776 \end{eqnarray*}$

26.08.2005, 08:50

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Als Pedant bin ich immer für etwas Ordnung in den Bezeichnungen, hier bei den Ereignissen:

$\begin{eqnarray*} E_i \end{eqnarray*}$ ... die beiden Elemente vom Typ $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ funktionieren

Dann musst du die Wahrscheinlichkeit

$\begin{eqnarray*} p = P\left( (E_1\cap E_2) \cup (E_1\cap E_3) \cup (E_2\cap E_3) \right) \end{eqnarray*}$

bestimmen - oder wenn man es mit disjunkten Ereignissen schreiben will:

$\begin{eqnarray*} p = P\left( [(E_1\cap E_2)\setminus E_3] \cup [(E_1\cap E_3)\setminus E_2] \cup [(E_2\cap E_3)\setminus E_1] \cup [E_1\cap E_2\cap E_3]\right) \end{eqnarray*}$

Und genau liegt der Fehler bei dir begraben! Richtig weiter gerechnet ergit sich nämlich

$\begin{eqnarray*} p &=& P\left((E_1\cap E_2)\setminus E_3\right) + P\left((E_1\cap E_3)\setminus E_2\right) + P\left((E_2\cap E_3)\setminus E_1\right) + P\left(E_1\cap E_2\cap E_3\right)\\ &=& P\left(E_1\cap E_2\right) + P\left(E_1\cap E_3\right) + P\left(E_2\cap E_3\right) - 2\,P\left(E_1\cap E_2\cap E_3\right) \end{eqnarray*}$

26.08.2005, 09:18

Protector1982

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Danke für die promte Antwort.
Allerdings ist mir das so doch noch nicht klar.
Warum schreibst du immer ohne das dritte Ereigniss und am Ende dann alle drei?
Denn das scheint ja mein Fehler gewesen zu sein, dass ich das dritte Ereigniss nicht ausgeschloßen habe...

26.08.2005, 09:28

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Zitat:

Original von Protector1982
Warum schreibst du immer ohne das dritte Ereigniss und am Ende dann alle drei?

Was meinst du damit - bitte etwas genauer!

26.08.2005, 09:41

Protector1982

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Also:
Wir wissen ja aus der Aufgabenstellung, das die Ereignisse unabhänig voneinander sind. Also werde sie ja Disjunkt sein?
Du schreibst:
$\begin{eqnarray*} p = P\left( (E_1\cap E_2) \cup (E_1\cap E_3) \cup (E_2\cap E_3) \right) \end{eqnarray*}$
Wo ist hier die Möglichkeit, dass alle drei Bauteile gehen? Wäre doch auch möglich?
Also
$\begin{eqnarray*} p = P\left( (E_1\cap E_2) \cup (E_1\cap E_3) \cup (E_2\cap E_3) \cup (E_1 \cap E_2 \cap E_3)\right) \end{eqnarray*}$

Und für den Fall, das die Ereignisse disjunkt wären, schreibst du:
$\begin{eqnarray*} p = P\left( [(E_1\cap E_2)\setminus E_3] \cup [(E_1\cap E_3)\setminus E_2] \cup [(E_2\cap E_3)\setminus E_1] \cup [E_1\cap E_2\cap E_3]\right) \end{eqnarray*}$
Warum schreibst du hier jedesmal $\begin{eqnarray*} \backslash E_i \end{eqnarray*}$ ?
Und diesesmal hast du ja auch das für mich vom logischen Gesichtspunkt betrachtete $\begin{eqnarray*} [E_1\cap E_2\cap E_3] \end{eqnarray*}$ drin.

Verstehe da den unterschied nicht so ganz.
Wäre im oberen $\begin{eqnarray*} \cup (E_1 \cap E_2 \cap E_3) \end{eqnarray*}$ dabei oder im unteren alle Therme ohne $\begin{eqnarray*} \backslash \end{eqnarray*}$ wäre es verständlich...

26.08.2005, 09:50

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Zitat:

Original von Protector1982
Also:
Wir wissen ja aus der Aufgabenstellung, das die Ereignisse unabhänig voneinander sind. Also werde sie ja Disjunkt sein?

Vollkommen falsche Schlussfolgerung: Unabhängigkeit und Disjunktheit sind zwei vollkommen unterschiedliche Dinge!!! Es ist im Gegenteil sogar so, dass zwei unabhängige Ereignisse jeweils positiver Wahrscheinichkeit niemals disjunkt sind.

Zitat:

Original von Protector1982
Du schreibst:
$\begin{eqnarray*} p = P\left( (E_1\cap E_2) \cup (E_1\cap E_3) \cup (E_2\cap E_3) \right) \end{eqnarray*}$
Wo ist hier die Möglichkeit, dass alle drei Bauteile gehen? Wäre doch auch möglich?

Mengenlehre: Es gilt stets $\begin{eqnarray*} (E_1\cap E_2\cap E_3) \subseteq (E_1\cap E_2) \end{eqnarray*}$ , also ist der Durchschnitt bereits erfasst.

Vielleicht bist du ja eher ein visueller Typ, und kannst deine Denkblockade mit einem Venn-Diagramm auflösen:

26.08.2005, 13:21

Protector1982

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Vielen Vielen Dank!
Das Bild hat geholfen! Jetzt ist alles klar!

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