Extremwertaufgabe Kartons

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26.08.2005, 14:09	Krissi123	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgabe Kartons Hallo liebe Community! Habe heute eine Extremwertaufgabe bekommen, bei der ich irgendwie ein wenig hänge. Der Text lautet: "Achtung Tüftler!! Demjenigen, dem es gelingt einen karton mit größtmöglichem Rauminhalt aus einem quadratischen Stück Pappe mit der Seitenlänge a zu basteln, winkt eine wunderbare Belohnung!" So, ich hab mir nun erstmal ne Skizze gemacht und die unbekannten, wichtigen Seiten benannt. (siehe Anhang) Die 4ecke sollen Quadrate sein und die kleinen Stückchen hab ich mit x bezeichnet. Das sind halt die Kanten zum Hochklappen. So, dann hab ich mir ne Gleichung für das Volumen aufgestellt: $\begin{eqnarray} V(a,x)=(a-2x)^{2}x \end{eqnarray*}$ naja, soweit so gut. Doch leider komme ich nun nicht weiter. Helfen würde mir das "Rauskicken" einer Variable. Doch leider hab ich keine weiteren Angaben, die mir dabei helfen könnten. Mir fehlt ne Nebenbedingung. Mit der Volumengleichung weiterzurechnen ist ja auch nicht wirklich sinnvoll. Ableiten, um Extremwerte zu ermitteln ginge ja, doch nach ws? a oder x? oder geht das so gar nicht? Vielen dank für eure Hilfe! Krissi PS: Ich bin in der Jgst. 12 im Mathe-LK in NRW.
26.08.2005, 14:11	derkoch	Auf diesen Beitrag antworten »
wo sind den die daten sehe nix! der link ist fehlerhaft. edit: oki! sehe es jetzt.
26.08.2005, 14:23	yeti777	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe Kartons Hallo Krissi! Die Kantenlänge a ist vorgegeben! Bist du mit Ableitungen vertraut? Vielleicht hilft dir dieses Bild: Gruss yeti Edit: Weiss nicht, warum der Hintergrund des Bildes schwarz ist. Einfach drauf klicken, dann wird's richtig.
26.08.2005, 14:28	Krissi123	Auf diesen Beitrag antworten »
Also was du mit a vorgegeben meinst, weiß ich nicht. a ist ja keine Zahl oder so. a ist nur die Variable für die Länge der einen Seite. Mit Ableitungen bin ich eigentlich vertraut. Ich weiß ja auch, dass ich das Maximum dieser Gleichung irgendwie suche. Doch ich weiß nicht, ob ich na a oder nach x ableiten soll: nach a abgeleitet ergibt das ganze: $\begin{eqnarray} v'(a,x)=2ax-4x^{2} \end{eqnarray}$ nach x abgeleitet ergibt das: $\begin{eqnarray} V'(a,x)=12x^{2} -8ax+a^{2} \end{eqnarray}$ Das müsste doch soweit stimmen, oder? Was muss ich als nächstes tun? edit: Das Bild zeigt mir, dass das ganze von dem a halt abhängt...
26.08.2005, 14:41	yeti777	Auf diesen Beitrag antworten »
In der Aufgabe ist a als Kantenlänge des Quadrats vorgegeben, darf also als feste Zahl angenommen werden. Variabel ist x, das Stück, das nach oben gebogen wird. Also ist nach x abzuleiten. Deine Ableitung ist schon mal richtig. Jetzt weisst du sicher, dass in einem lokalen Extrema die erste Ableitung gleich Null ist. Für x=0 und x=a/2 ergibt sich das Volumen Null. Also muss x irgendwo im offenen Interval (0,a/2) zu finden sein. Gleichsetzen der ersten Ableitung mit Null ergibt 2 Lösungen, wovon eine das optimale x darstellt. Gruss yeti
26.08.2005, 15:04	Krissi123	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, soweit verstehe ich das ganze. Jetzt hab ich aber Probleme beim ausrechnen der Extrempunktkandidaten. $\begin{eqnarray} 12x^{2}-8ax+a^{2}=0 \end{eqnarray}$ Das Ganze in die Lösungsformel eingesetzt ergibt: $\begin{eqnarray} X1/2=\frac{8a}{24}\pm \sqrt{\frac{64a^{2}+48a^{2}}{576}} \end{eqnarray}$ Obwohl das eigentlich gar nicht so schwer sein sollte, ist das gerade irgendwie ein Problem. Soll ich mit dem Wert in der Diskriminante weiterrechnen, um das a zu eliminieren? Hab ich nen ganzen falschen Ansatz oder nen fehler gemacht?
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26.08.2005, 15:19	yeti777	Auf diesen Beitrag antworten »
Die quadratische Gleichung ist richtig angesetzt. Aber bei der Lösung ist irgendetwas schiefgelaufen. Kontrolliere nochmals deine Rechnung. Ich mach inzwischen dasselbe. Gruss yeti
26.08.2005, 15:26	Krissi123	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich habs in folgende Lösungsformel eingesetzt: $\begin{eqnarray} f(x)=ax^{2}+bx+c=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} X1/2=-\frac{b}{2a}\pm \sqrt{\frac{b²-4ac}{4a²}} \end{eqnarray}$ Hab die Rechnung nochmal überprüft. Müsste stimmen. Oder hab ich ne falsche Formel?
26.08.2005, 15:57	yeti777	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe die quadratische Gleichung mit zwei verschiedenen Ansätzen gelöst, einmal mit der quadratischen Ergänzung und einmal mit deiner Formel. Beide Male erhielt ich dasselbe Resultat,nämlich $\begin{eqnarray} x_{1,2}= \frac{a}{3} + - \sqrt{\frac{a^2}{36} } \Rightarrow x_1= \frac{a}{2} \,\,,\,x_2= \frac{a}{6} \end{eqnarray}$ . Deine Formel ist also richtig. Da muss irgendwo noch ein blöder Rechenfehler stecken. Da es hier aber nicht um quadratische Gleichungen geht, nehme ich das richtige Resultat vorweg: $\begin{eqnarray} x_{opt}= \frac{a}{6} \end{eqnarray}$ . Als max. mögliches Volumen ergibt sich dann $\begin{eqnarray} V= \frac{2}{27} a^3 \end{eqnarray}$ . Gruss yeti
26.08.2005, 18:04	Krissi123	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, ich hab meinen Fehler gefunden. Die zu lösende Gleichung lautet: $\begin{eqnarray} X1/2=\frac{a}{3}\pm \sqrt{\frac{64a²-48a²}{576} } \end{eqnarray}$ Weiter oben hatte ich ein PLUS falsch gesetzt. da muss nen MINUS unter die Wurzel. Dann geht die Sache auf. Ich hab das gleiche Ergebnis wie du. Passt also sehr gut Danke für deine Hilfe! Krissi
26.08.2005, 18:57	yeti777	Auf diesen Beitrag antworten »
@Krissi: Gern geschehen! Ich gratuliere zur richtigen Lösung Gruss yeti

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