Grenzwert mit Winkelfunktionen

15.02.2008, 11:28

hospitalOpfer

Grenzwert mit Winkelfunktionen

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{x³+2x^4}{(1-cos(x))sin(x)} \end{eqnarray*}$

hi, ich habe hier diese aufgabe und wieder winkelfunktionen mit dabei. ich vermute mal hier gibts jetzt wieder irgendeine winkelregel mit der ich das ganz einfach umformen kann, nur seh ich die mal wieder nicht.

kann mir jemand nen tipp geben, was man da tun muss?

15.02.2008, 11:33

klarsoweit

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RE: Grenzwert mit Winkelfunktionen
Dein Name sagt doch schon, womit es geht: l'Hospital. Augenzwinkern

Oder wo ist das Problem?

15.02.2008, 11:36

hospitalOpfer

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RE: Grenzwert mit Winkelfunktionen

Zitat:

Original von klarsoweit
Dein Name sagt doch schon, womit es geht: l'Hospital. Augenzwinkern

Oder wo ist das Problem?

lol, ok.

mein lehrer hat mich davor gewarnt, alles mit dem lostpital lösen zu wollen. er meinte das alle nur noch den hopi anwenden und gar nicht mehr versuchen es anders zu machen. danke, werds mal probieren.

15.02.2008, 11:40

klarsoweit

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RE: Grenzwert mit Winkelfunktionen
OK. Eine andere Variante wäre mit (1 + cos(x)) zu erweitern. smile

15.02.2008, 11:59

hospitalOpfer

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RE: Grenzwert mit Winkelfunktionen
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{x³+2x^4}{(1-cos(x))sin(x)} \end{eqnarray*}$

ok, ich nehm mal den zug mit dem ableiten

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{3x²+8x^3}{cos(x)(1-cos(x)) + sin(x)*sin(x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{3x²+8x^3}{cos(x)-(cos(x))² + (sin(x))²} \end{eqnarray*}$

seh ich das jetzt richtig, das hier jetzt den trigonomischen Pythoagoras anwenden darf? Aber das bringt mir glaub ich nicht viel, den dann komme ich immernoch auf die = Null situation im nenner....

15.02.2008, 12:04

klarsoweit

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RE: Grenzwert mit Winkelfunktionen
Du kannst a) den trigonomischen Pythoagoras anwenden und b) nochmal l'Hospital machen.

Und wie gesagt: wenn du am Anfang mit (1 + cos(x)) erweiterst, geht es weitestgehend auch ohne l'Hospital. Augenzwinkern

15.02.2008, 12:11

hospitalOpfer

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das mit dem erweitern mach dann später, ich will jetzt erstmal den weg ins krankenhaus gehen -.-

*lol*

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{x³+2x^4}{(1-cos(x))sin(x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{3x²+8x^3}{cos(x)(1-cos(x)) + sin(x)*sin(x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{3x²+8x^3}{cos(x)-(cos(x))² + (sin(x))²} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{3x²+8x^3}{cos(x)-1} \end{eqnarray*}$

ableiten->hospi

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{6x+24x^2}{-sin(x)} \end{eqnarray*}$

ableiten->hospi

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{6+24x^2}{-cos(x)} \end{eqnarray*}$

jetzt könnte ich den grenzwert anwenden und komme auf -6...ist falsch oder?

15.02.2008, 12:50

klarsoweit

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Zitat:

Original von hospitalOpfer
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{3x²+8x^3}{cos(x)-(cos(x))² + (sin(x))²} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{3x²+8x^3}{cos(x)-1} \end{eqnarray*}$

Das hatte ich befürchtet. Richtig ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{3x^2+8x^3}{cos(x)-(cos(x))^2 + (sin(x))^2} = \frac{3x^2+8x^3}{cos(x) - (1 - (sin(x))^2) + (sin(x))^2} \end{eqnarray*}$

smile

15.02.2008, 13:53

hospitalOpfer

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Das hatte ich befürchtet. Richtig ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{3x^2+8x^3}{cos(x)-(cos(x))^2 + (sin(x))^2} = \frac{3x^2+8x^3}{cos(x) - (1 - (sin(x))^2) + (sin(x))^2} \end{eqnarray*}$

smile

aus welcher regel kommt den das jetzt hervor? verwirrt

15.02.2008, 13:59

Mazze

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Zitat:

aus welcher regel kommt den das jetzt hervor?

Das ganze Resultiert daraus das

$\begin{eqnarray*} sin^2(x) + cos^2(x) = 1 \end{eqnarray*}$

ist. Im Bruch steht aber

$\begin{eqnarray*} -cos^2(x) + sin^2(x) \end{eqnarray*}$

Du hast schlichtweg den trigonometrischen Pythagoras falsch angewendet. klarsoweit hat ledglich den Pythagoras nach $\begin{eqnarray*} cos^2(x) \end{eqnarray*}$ umgestellt.

15.02.2008, 14:01

klarsoweit

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Heidinei.

$\begin{eqnarray*} (sin(x))^2 + (cos(x))^2 = 1 \Leftrightarrow (cos(x))^2 = 1 - (sin(x))^2 \end{eqnarray*}$

und das habe ich für (cos(x))² eingesetzt.

EDIT: vielleciht ist die Umstellung nach (sin(x))² weniger verwirrend:

$\begin{eqnarray*} (sin(x))^2 = 1 - (cos(x))^2 \end{eqnarray*}$

15.02.2008, 14:27

hospitalOpfer

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$\begin{eqnarray*} \frac{3x^2+8x^3}{cos(x)-(cos(x))^2 + (sin(x))^2} = \frac{3x^2+8x^3}{cos(x) - (1 - (sin(x))^2) + (sin(x))^2} \end{eqnarray*}$

ok, kann ich nachvollziehn.

man kann ja noch zusammenfassen

$\begin{eqnarray*} \frac{3x^2+8x^3}{cos(x) - 1 + 2(sin(x))^2) } \end{eqnarray*}$

ableiten

$\begin{eqnarray*} \frac{6x+24x^2}{-sin(x) + 4*sin(x) * cos(x) } \end{eqnarray*}$

so richtig?

also irgendwie dreh ich mich im kreis. ich muss ja irgendwie die sin(x) loswerden, weil ich sonst ja immer uaf ne division durch null laufe......

15.02.2008, 14:33

Mazze

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Ich würde statt dem Ableiten das Additionstheorem

$\begin{eqnarray*} sin^2(x) = \frac{1 - cos(2x)}{2} \end{eqnarray*}$

benutzen.

15.02.2008, 14:43

klarsoweit

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Zitat:

Original von hospitalOpfer
also irgendwie dreh ich mich im kreis. ich muss ja irgendwie die sin(x) loswerden, weil ich sonst ja immer uaf ne division durch null laufe......

Nochmal l'Hospital und du bist am Ziel. smile

15.02.2008, 15:10

hospitalOpfer

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$\begin{eqnarray*} \frac{6x+24x^2}{-sin(x) + 4*sin(x) * cos(x) } \end{eqnarray*}$

ableiten

$\begin{eqnarray*} \frac{6+48x}{-cos(x) + 4*sin(x) *(-sin(x)) + 4(cos(x)) * cos(x) } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{6+48x}{-cos(x) + 4*(cos(x))^2 - 4(sin(x))^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{6}{3} = 2 \end{eqnarray*}$

ich find das echt bitter, da hab ich jetzt nen guten halben tag für diese dämliche aufgabe gebraucht. von diesen winkel aufgaben werd ich jedesmal versenkt.

danke für die hilfe

15.02.2008, 16:47

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Der Tipp von klarsoweit (Erweitern mit $\begin{eqnarray*} (1+\cos(x)) \end{eqnarray*}$ ) ist die eleganteste Variante. Aber selbst wenn man das nicht sieht, folgender Tipp:

Immer nur stur L'Hospital auf ganze Produktausdrücke angewandt führt oft zu übel langen Termen. Ruhig mal Faktoren mit bekanntem (endlichen und von Null verschiedenen) Grenzwert abtrennen - Beispiel hier:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^3+2x^4}{(1-\cos(x))\sin(x)} = \frac{x}{\sin(x)} \cdot \frac{x^2+2x^3}{1-\cos(x)} \end{eqnarray*}$ .

Der erste Faktor konvergiert gegen 1, man muss sich (von mir aus mit L'Hospital) nur noch um den zweiten kümmern.

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