Tangenten

15.02.2008, 14:10

Sweety912

Tangenten

Hallo!

Gib die Gleichung der Tangente an den Graphen an.
1) f(x) = wurzel x; P(4|y)
2) f(x) = wurzel x + x; P(9|y)
3) f(x) = 3 * wurzel x; P(2|y)

und

In welchem Punkt schneiden sich die Tangenten in P1 und P2? Wie groß ist der Schnittwinkel der beiden Tangenten?
4) f(x) = x²; P1(1|y); P2(2|y)

Hat jemand eine Idee?

15.02.2008, 14:11

Calvin

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RE: Tangenten

Zitat:

Original von Sweety912
Hat jemand eine Idee?

Sicher haben hier viele Leute eine Idee. Aber wie sieht es mit dir aus? Wo klemmt es? Wie berechnet man zum Beispiel die Steigung der Tangente?

15.02.2008, 14:12

ushi

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RE: Tangenten
was weißt du denn schon?

15.02.2008, 14:12

system-agent

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RE: Tangenten

Zitat:

Original von Sweety912

Hat jemand eine Idee?

Ja, und wie siehts mit dir aus?

Stichwort Ableitung...

Edit:
Am langsamsten Augenzwinkern

15.02.2008, 14:15

Sweety912

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Für f(x) = wurzel x gilt f'(a) = 1 / 2 wurzel a.
Muss man das damit berechnen?

15.02.2008, 14:18

system-agent

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Der Wert der Ableitung an der Stelle $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ gibt die Steigung der Tangente an der Stelle $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ .

15.02.2008, 14:20

Sweety912

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f'(4) = 1 / 2 wurzel 4
= 1/4 ?

15.02.2008, 14:22

Calvin

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Bevor ich weg muss, will ich nochmal was anmerken. Bitte verwende Klammern oder den Formeleditor

Zitat:

Original von Sweety912
Für f(x) = wurzel x gilt f'(a) = 1 / 2 wurzel a.

Das ist nämlich falsch. Bei dir steht $\begin{eqnarray*} f'(a)=\frac{1}{2}\sqrt{a} \end{eqnarray*}$ . Richtig wäre aber $\begin{eqnarray*} f'(a)=1/(2\sqrt{a})=\frac{1}{2\sqrt{a}} \end{eqnarray*}$

Lehrer

15.02.2008, 14:23

Sweety912

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Das mein ich doch...

= 1 / 2 wurzel 4
= 1 / 2*2
= 1/4

15.02.2008, 14:28

Calvin

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Was du meinst und was dasteht sind aber zwei vollkommen verschiedene Dinge Lehrer

15.02.2008, 14:32

Sweety912

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Ja, ich komm mit dem Editor nicht klar ^^
Kann man das so rechnen mit der Formel oder muss man noch was anderes machen?

15.02.2008, 14:54

klarsoweit

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Dann klick doch bei Calvin auf Zitat und du bekommst den Code.
Oder setze wenigstens Klammern.

Jedenfalls ist 1/4 die Steigung der Wurzelfunktion an der Stelle x=4.

15.02.2008, 15:03

Sweety912

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1) und die Gleichung dann wurzel t(x)=4 + 1/4 ?
2) t(x) = 12 + 1/5
3) t(x) = 4,2 + 1 / ((2) wurzel 2)

15.02.2008, 15:10

system-agent

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Zitat:

Original von Sweety912
1) und die Gleichung dann wurzel t(x)=4 + 1/4 ?

Das kann nicht stimmen, denn erstens wäre das eine konstante Funktion und zweitens hätte eine konstante Funktion die Steigung 0, aber du hast ja schon was anderes berechnet.

15.02.2008, 15:13

Sweety912

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Hab nur die Steigung (1/4), aber noch keine Gleichung...

15.02.2008, 15:15

system-agent

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Du musst erstmal noch die zweite Koordinate des Punktes $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ ausrechnen.

Dann nutze folgende Form für die Tangente an der Stelle $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} t(x)=f(a)+(x-a)\cdot f'(a) \end{eqnarray*}$

15.02.2008, 15:24

Sweety912

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wurzel a + (4-x) * 1 / (2(wurzel a) ?

15.02.2008, 15:26

system-agent

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Das ist keine Funktion.

15.02.2008, 15:29

Sweety912

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keine ahnung...

15.02.2008, 15:31

system-agent

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Eine Tangente ist eine Funktion und das was du hingeschrieben hast ist ein Term. Zum zweiten hast du noch nicht mal deinen gegebenen Punkt $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ benutzt.

15.02.2008, 15:35

Sweety912

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P(4|y)... aber wenn ich das y einsetzt hab ich noch ne Variabel mehr...
y = wurzel 4 + (x - 1/4) * 1/4 verwirrt

is aber auch wieder ein term, wenn ich die Form für die Tangente an der Stelle $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ : nehm...

15.02.2008, 15:38

system-agent

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Was ist denn $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ? Wie könnte man dieses bekommen? Denke daran dass $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ auf dem Graphen der Funktion liegt.

15.02.2008, 15:39

Sweety912

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y = wurzel x
y = wurzel 4
y = 2 ?

15.02.2008, 15:40

system-agent

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Perfekt

Das heisst also unser Punkt sieht gar nicht so schlimm aus, es ist einfach $\begin{eqnarray*} P(4|2) \end{eqnarray*}$

Nun sollst du also nach Aufgabe die Tangente an die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ am Punkt $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ bestimmen. Du hast schon alles ausgerechnet, nun setz das mal zusammen.

15.02.2008, 15:44

Sweety912

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t(2) = 2 + 1/4 ?

15.02.2008, 15:47

system-agent

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Das ist höchstens die Tangentengleichung ausgewertet an der Stelle $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ .

Du sollst doch eine Tangente bestimmen, also eine Funktion $\begin{eqnarray*} t(x) \end{eqnarray*}$ die linear ist, das heisst die Form $\begin{eqnarray*} t(x)=mx+b \end{eqnarray*}$ hat. Diese Tangente soll aber die Tangente an den Punkt $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ sein, das heisst wir wissen schon über die Steigung $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ bescheid, es muss $\begin{eqnarray*} m=f'(2) \end{eqnarray*}$ sein.

Setz das mal zusammen was ich eben sagte, lass das $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ einfach mal noch so stehen.

15.02.2008, 15:51

Sweety912

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t(x) = 1/4x + b

15.02.2008, 15:53

system-agent

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Wie kann man nun das $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ bestimmen? Wir wissen ja noch ein bischen Mehr über die Funktion $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ , nämlich sogar einen Punkt, denn $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ soll ja die Tangente an $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ im Punkt $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ sein, das bedeutet doch insbesondere dass $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ auch durch $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ verläuft oder anders: $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ erfüllt die Gleichung für $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ .
Nun verwende dieses, setze die Informationen aus $\begin{eqnarray*} P(4,2) \end{eqnarray*}$ in die Gleichung von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ein und bestimme daraus $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ .

15.02.2008, 15:56

Sweety912

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2 = 1/4 * 4 + b
2 = 1 + b | - 1
1 = b

t(x) = 1/4x + 1 ?

15.02.2008, 15:59

system-agent

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Perfekt !

Und das Ergebnis kannst du dir hier anschauen:

15.02.2008, 16:02

Sweety912

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wie bestimm ich bei 2) die steigung, weil da ja noch ein + x drangehangen ist?

15.02.2008, 16:04

system-agent

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Wie hast es denn bei der ersten Aufgabe bestimmt? Mit der Ableitung. Stört dieses Anhängsel beim ableiten?

15.02.2008, 16:05

Sweety912

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Also 1/5 ?

15.02.2008, 16:08

system-agent

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Wieso räts du denn immer? Schreib dir doch erstmal die Ableitungsfunktion $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ hin und setze dann eben $\begin{eqnarray*} x=9 \end{eqnarray*}$ ein.

15.02.2008, 16:09

Sweety912

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Die gleiche Ableitung wie bei 1) un dann kommt 1/5 raus...
Dann y bestimmen= 12, un bei b hab ich -70 4/5 raus.
kann das stimmen?

15.02.2008, 16:11

system-agent

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Zitat:

Original von Sweety912
Die gleiche Ableitung wie bei 1) un dann kommt 1/5 raus...

Das kann ja nicht sein, denn das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist schliesslich keine Konstante.
Bestimme nun mal ordentlich $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ .

15.02.2008, 16:16

Sweety912

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Oh stimmt... hab ausversehn + anstatt * gerechnet...
Steigung: 1 / (2(wurzel 9) = 1 / (2*3) = 1/6
b bestimmen: 12 = (1/6 + 9) * 9 + b
12 = 1 1/2 + 81 + b | - 1 1/2 | - 81
-70 1/2 = b

15.02.2008, 16:17

system-agent

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Zitat:

Original von Sweety912
Oh stimmt... hab ausversehn + anstatt * gerechnet...
Steigung: 1 / (2(wurzel 9) = 1 / (2*3) = 1/6

Das ist immernoch falsch. Wie ich schon sagte, schreib doch erstmal ordentlich die Ableitungsfunktion hin

15.02.2008, 16:20

Sweety912

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Das ist doch 1 / (2( wurzel a) oder nicht?

15.02.2008, 16:22

system-agent

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Nein, das ist falsch. Du hast
$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{x}+x \end{eqnarray*}$
Nun verwende die Summenregel welche sagt, dass man jeden Summanden einzeln ableiten darf, das heisst was ist denn die Ableitung von
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ ?
Und was ist die Ableitung von
$\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ?

Das musst du dann wieder zusammensetzen zu $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ .

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