Noch ein Konvergenzradius...

15.02.2008, 18:03	PimpWizkid	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch ein Konvergenzradius... Hey Leute! Ich soll den Konvergenzradius von $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^{\infty}~sin(\frac{\pi\cdot n!}{1000})\cdot z^n \end{eqnarray}$ bestimmen. Nun, für $\begin{eqnarray} n\geq 1000 \end{eqnarray}$ ist der Sinus ja $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ . Jetzt ist $\begin{eqnarray} \limsup_{n \to \infty} \sqrt [n] {\|a_{n}\|}=\limsup_{n \to \infty} \sqrt [n] {0}=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} r=\frac{1}{0} \end{eqnarray}$ nicht definiert. Im Tutorium wurde dann damit argumentiert, dass die Reihe ja eine endliche Summe ist und deshalb $\begin{eqnarray} r=n \end{eqnarray}$ ist... leider kann ich das nicht ganz nachvollziehen. Wer von euch? Gruß, Pimp
15.02.2008, 18:06	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
In diesem Zusammenhang setzt man $\begin{eqnarray} \frac10:=\infty \end{eqnarray}$ . Es ist auch klar, dass der Konvergenzradius unendlich sein muss, da es sich ja nur um eine endliche Summe handelt.
15.02.2008, 18:08	PimpWizkid	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, gecheckt... danke!
15.02.2008, 19:22	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht daß es für die Argumentation wichtig wäre, aber $\begin{eqnarray} 1000 = 10^3 = (2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3 \end{eqnarray}$ Die drei Faktoren $\begin{eqnarray} 5 \end{eqnarray}$ erreicht man schon mit $\begin{eqnarray} 15! = 15 \cdots 10 \cdots 5 \cdots 1 \end{eqnarray}$ . Und ausreichend Faktoren $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ hat man dann auch schon.

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