Transzendente Gleichungen... |
| 15.02.2008, 20:22 | Soliton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Transzendente Gleichungen... es geht um folgendes Problem: "Es sei f(t)=40t*exp(-0.5t); t>=0. f(t) beschreibe die Konzentration eines Medikaments im Blut t Stunden nach der Einnahme in mg/l. Das Medikament ist nur wirksam, wenn die Konzentration über 8 mg/l beträgt. Es ist der Zeitraum zu berechnen, in dem das Medikament wirksam ist." - Ich grübele und grübele, aber ich sehe hier nur das Problem, die Nullstellen einer transzendenten (?) Gleichung zu lösen, und ich dachte immer, das geht nicht i. a. Also schon sowas wie: "t*exp(t)=8" läßt sich doch nicht nach t auflösen. Jedenfalls nicht ohne weitere Informationen. Ist aber eine Aufgabe für Mathe-Abitur, und es soll wohl exakt gelöst, nicht approximiert werden. Was ist zu tun? Grüße, Soliton |
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| 15.02.2008, 20:37 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da hast du schon Recht, eine Gleichung wie ist nicht algebraisch nach lösbar. Man kann sich mit gewissen Funktionen behelfen (LambertW), aber wirklich zufriedenstellen wird dich das kaum. Ich denke mal dass dies eine Aufgabe aus dem Wahlbereich ist, in der man den Taschenrechner benutzen darf, damit sollte dies kein Problem darstellen. |
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| 15.02.2008, 20:50 | Soliton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi, Du hast recht: Lambert-W stellt mich nicht zufrieden, das ist ja nur eine symbolische Lösung. Du meinst also, man soll die Aufgabe mit dem TR numerisch lösen. Ok, dann sag' ich mal: Die Aufgabenstellung könnte präziser formuliert sein. Unter "berechnen" verstehen wir dann doch noch etwas anderes als eine (nur) Näherungslösung. Aber danke. Grüße, Soliton |
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| 15.02.2008, 20:59 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wir schon, aber nicht das Kultusministerium 
Sagen wirs so, LambertW ist genauso symbolisch wie der Logarithmus auch. Nur ist eben der Unterschied dass es keine "LambertW"-Taste auf dem TR gibt. |
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| 15.02.2008, 21:10 | Soliton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ah, ok. Und für die e-Funktion usw. gilt nichts anderes. Aber diese und der log lassen sich doch immerhin "ziemlich geschlossen" als analytische Reihe darstellen. Gibt es eine ähnliche Darstellung für Lambert-W? |
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| 15.02.2008, 21:12 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Geschlossen nennt man das soweit ich weiss eher, wenn genau keine Reihe mehr drin vorkommt, aber das ist nicht so wichtig. Schau mal bei Wikipedia, da ist die Potenzreihenentwicklung für LambertW angegeben. |
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| 15.02.2008, 21:18 | Soliton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Siehst Du, darum hatte ich es ja auch "ziemlich geschlossen" genannt.
Ne, schon klar.Leider zeigt mein Browser die Wikipedia-Formeln nicht an, aber ich nehme es mal hin. Was ist denn dann eigentlich der qualitative Unterschied zwischen exp(t) = c und t*exp(t) = c? Beides sind Gleichungen, deren Lösungen nicht i. a. algebraisch sind. Dann ist hinsichtlich der Lösbarkeit der Unterschied wirklich nur ein pragmatischer, d. h. für die häufig gebrauchte e-Funktion wird der log implementiert, während für seltenere Fragen umfangreiche Mathebibliotheken bemüht werden? Krass, so habe ich das noch nie gesehen, aber im Grunde stimmt es ja. Beide Gleichungen sind nicht exakt (durch Angabe eines konkreten Zahlenwerts) lösbar. |
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| 15.02.2008, 21:22 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
In dem Fall kann ich dir ja mal zitieren:
Das gilt für . Ich weiss nicht was du mit dem qualitativen Unterschied meinst. Das sind eben zwei Funktionen und wie du schon sagtest, den reellen Logarithmus braucht man eben ständig weils die Umkehrfunktion der reellen Exponentialfunktion ist. |
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| 15.02.2008, 21:30 | Soliton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke für's Zitat. Mit qualitativem Unterschied meinte ich bislang, daß die erste Gleichung lösbar, die zweite jedoch nicht lösbar sei. Lösbar = Man kann die Lösungen suchen und exakt angeben. Tatsächlich ist keine der beiden lösbar in diesem Sinne. D. h. die erste Gleichung ist theoretisch nicht "leichter" zu lösen als die zweite. In beiden Fällen wird die Umkehrfunktion symbolisch definiert und dafür ein numerisches Approximationsverfahren angegeben. Anders gesagt: Wenn bislang ein Schüler mit einer Gleichung der Bauart 2 kam, rief ich gleich: nicht lösbar. Bei Bauart 1 habe ich das nicht gesagt. Richtig müßte ich nun sagen: Beide sind nicht exakt numerisch lösbar, und für Bauart 2 fehlt die Taste auf dem Taschenrechner, um eine Näherungslösung zu erzeugen. So richtig? |
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| 15.02.2008, 21:35 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja, kommt immer auch darauf an was du meinst mit nicht exakt lösbar. Beide sind exakt lösbar, denn für die Funktion ist die LambertW-Funktion eine Umkehrfunktion, wenn im zulässigen Bereich liegt, soll heissen man hat eine exakte Lösung dastehen, zum Beispiel . Das ist genauso exakt wie wenn man löst und dann hinschreibt. Nur man hat eben nicht einfach eine Zahl dastehen resp sieht die Zahl eben noch nicht nach einer aus. Da steht eben noch eine Rechenoperation dabei. Das zieht sich aber durch, genauso ist schon nur ein Symbol, denn man gibt ja mit dem Bruch lediglich an, was mach machen müsste ("Teile 4 durch 5") und man macht es nicht wirklich. Nur ich fürchte das führt zu weit ins OffTopic 
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| 15.02.2008, 23:10 | Soliton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Schon klar. Wobei der Unterschied zwischen 4/5 und W(2) eben ist, daß das eine eine algebraische (sogar rationale) Zahl ist, das andere nicht. Aber gut, bevor wir uns im Kreis drehen, ich denke, ich weiß jetzt, was ich wissen wollte, und sage: Danke. |
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