Pyramidenstumpf Neigungswinkelberechnung

15.02.2008, 20:44	Verdo	Auf diesen Beitrag antworten »
Pyramidenstumpf Neigungswinkelberechnung Hallo zusammen, hab folgende Aufgabe: Ein massiver Messingklotz hat die Form eines quadratischen senkrechten Pyramidenstumpfes mit aufgesetzter senkrechter Pyramide der Höhe h= 6 cm und der Spitze S. Ein kartesisches Koordinatensystem mit der Längeneinheit 1 cm hat seinen Ursprung im Mittelpunkt der Grundfläche des Pyramidenstumpfes, die Grundlinien sind jeweils parallel zu den Koordinatenachsen. Die Punkte A(2/-2/0) und E(1,5/-1,5/4) sind gegeben. Hier das Bild dazu: http://www.verena.x-periences.de/Pyramidenstumpf.jpg Nun die Aufgabenstellung: a) Bestimmen Sie die Koordinaten der übrigen Punkte sowie den Neigungswinkel $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ des Pyramidenstumpfes und den Neigungswinkel $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ der Pyramide (jewiels zwischen einer Seitenfläche und der entsprechenden Grundfläche). Nun mein Lösungsansatz: zunächst die Punkte, mit denen ich keine Schwierigkeiten hatte B(2/2/0), C(-2/2/0), D(-2/-2/0), F(1,5/1,5/4), G(-1,5/1,5/4), H(-1,5/-1,5/4), S(0/0/10) So nun zu der Bestimmung der Neigungswinkel. Erst mal nur $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ Ich habe mir überlegt, dass wenn ich die Ebenengleichung der Grundfläche und der Seitenfläche aufstelle ich von diesen dann den Schnittwinkel berechen müsste. Stimmt dieser Ansatz? Bei mir sieht das dann wie folgt aus: Aufstellen der Ebenengleichung der Grundfläche mit den Punkten ABD $\begin{eqnarray} E_1(ABD) = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ dann bilde ich den Normalenvektor mit Hilfe des Kreuzproduktes der beiden Richtungsvektoren und erhalte die Ebene in der Normalform: $\begin{eqnarray} E_1(ABD): [\vec{x} - \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 16 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Aufstellen der Ebenengleichung der Seitenfläche mit den Punkten ABE die Parameterform: $\begin{eqnarray} E_1(ABE) = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} -0,5 \\ 0,5 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ die Normalenform: $\begin{eqnarray} E_1(ABD): [\vec{x} - \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}] \begin{pmatrix} 16 \\ 0 \\ 16 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ nun nehm ich die Formel zur Schnittwinkelberechnung von 2 Ebenen und setze ein: $\begin{eqnarray} cos\alpha = \frac{\mid \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 16 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 16 \\ 0 \\ 16 \end{pmatrix} \mid }{\mid \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 16 \end{pmatrix} \mid\mid \begin{pmatrix} 16 \\ 0 \\ 16 \end{pmatrix} \mid} \end{eqnarray}$ dann erhalte ich schließlich $\begin{eqnarray} \alpha = 45° \end{eqnarray}$ Nun habe ich das Problem, dass in der Lösung, ein komplett anderer Lösungsweg und leider auch eine andere Lösung steht(82,87°). Stimmt mein Weg denn so vom Ansatz? Hab ich vielleicht irgendwo nur en kleinen Rechenfehler drin? Wäre sehr dankbar für Hilfe. MfG Verena
15.02.2008, 20:58	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Pyramidenstumpf Neigungswinkelberechnung dein ansatz ist vollkommen richtig aber du hast einen fehler beim 2. normalenvektor. und es genügt, die beiden vektoren zu berechnen, die ebenengleichungen brauchst du hier ja nicht. die "geschönten" vektoren: $\begin{eqnarray} n_1=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n_2=\begin{pmatrix}8 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ womit du bekommst $\begin{eqnarray} cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{65}}\to\alpha=82.875° \end{eqnarray}$
15.02.2008, 21:13	Verdo	Auf diesen Beitrag antworten »
oh man okay, vielen Dank für den Hinweis, hatte einen Fehler beim Berechnen des 2. Kreuzproduktes, da verutscht man einfach immer so schnell . Vielen Dank!!!

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »