Herleitung der "abc-Formel"?

16.02.2008, 00:21

Jacques

Herleitung der "abc-Formel"?

Hallo,

Ich wüsste nur den Ansatz, die "pq-Formel" umzuformen. Aber der letzte Schritt von

$\begin{eqnarray*} -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2 \cdot \sqrt{a^2}} \end{eqnarray*}$

zu

$\begin{eqnarray*} -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \end{eqnarray*}$

ist mir unklar.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2} = a \end{eqnarray*}$ gilt doch nur für $\begin{eqnarray*} a \geq 0 \end{eqnarray*}$ . Aber für a sind ja auch negative Werte zugelassen.

16.02.2008, 00:39

therisen

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Das $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ "schluckt" den Betrag:

$\begin{eqnarray*} \pm\sqrt{a^2}=\pm |a|=\pm a \end{eqnarray*}$

16.02.2008, 02:32

micha on heels

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RE: Herleitung der "abc-Formel"?

Zitat:

Original von Jacques
Hallo,

Ich wüsste nur den Ansatz, die "pq-Formel" umzuformen. Aber der letzte Schritt von

$\begin{eqnarray*} -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2 \cdot \sqrt{a^2}} \end{eqnarray*}$

zu

$\begin{eqnarray*} -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \end{eqnarray*}$

ist mir unklar.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2} = a \end{eqnarray*}$ gilt doch nur für $\begin{eqnarray*} a \geq 0 \end{eqnarray*}$ . Aber für a sind ja auch negative Werte zugelassen.

Deinen ersten Satz verstehe ich nicht so richtig. Trotzdem glaube ich, dein Problem zu verstehen.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2} = a \end{eqnarray*}$ ist tatsächlich für negative a falsch.

Du musst dir unbedingt über die Bedeutung der $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ -Schreibweise klar werden. Die drückt doch nur aus, dass die quadratische Gleichung 2 Lösungen haben kann. Es kann auch sein, dass die Gleichung gar keine Lösung hat oder nur eine. Wenn b^2-4ac negativ wird, kann es keine Lösung geben, weil Wurzeln aus negativen Zahlen nicht erlaubt sind.

Falls a negativ ist, gilt $\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2} = -a \end{eqnarray*}$ . Jetzt kommt der entscheidende Punkt: das ist trotzdem völlig belanglos, da das zusätzliche Minuszeichen aus der Pluslösung eine Minuslösung macht und umgekehrt. Wenn die Wurzel $\begin{eqnarray*} \sqrt{b^2-4ac} \end{eqnarray*}$ existiert und nicht gerade Null ist, gibt es immer zwei Lösungen. Das formuliert man durch $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} \mp \end{eqnarray*}$ ist genauso gut, wenn du dein negatives a hervorheben möchtest.

16.02.2008, 02:49

Jacques

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Vielen Dank!

Für negative a also:

$\begin{eqnarray*} -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2 \cdot (-a)} = -\frac{b}{2a} \pm \left(-\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right) = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \end{eqnarray*}$ (wie bei nichtnegativen a)

16.02.2008, 10:05

pressure

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Es geht viel schöner, wenn du mit

$\begin{eqnarray*} ax^2+bx+c = 0 \end{eqnarray*}$

beginnst und dann quadratisch ergänzt, so dass man nach x auflösen kann.

16.02.2008, 13:48

Jacques

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Hallo pressure,

Also über die quadratische Ergänzung kann man doch nur die "p-q-Formel" herleiten?:

$\begin{eqnarray*} ax^2 + bx + c = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Longleftrightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Longleftrightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Longleftrightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left( x + \frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Longleftrightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{\left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{c}{a}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Longleftrightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = -\frac{b}{2a} \pm \sqrt{\left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{c}{a}} \end{eqnarray*}$

Dann ist ja wieder die obige Umformung nötig, um auf die "abc-Formel" zu kommen...

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