Für welche c, Berührung zweier Graphen

27.08.2005, 12:39

Dennhen

Für welche c, Berührung zweier Graphen

Für welche $\begin{eqnarray*} c \in \end{eqnarray*}$ IR berühren sich die Graphen von f und $\begin{eqnarray*} g_{c} \end{eqnarray*}$ ?

a.) f(x) = sin (x) ; $\begin{eqnarray*} g_{c} \end{eqnarray*}$ (x) =cos (x) + c

b.) f(x) = $\begin{eqnarray*} \sqrt{3}\cdot \end{eqnarray*}$ sin (x) ; $\begin{eqnarray*} g_{c} \end{eqnarray*}$ (x) = c - cos (x)

Diese Aufgabe hat mir heute morgen Kopfschmerzen bereitet. Ich habe keine Ahnung wie ich die überhaupt angehe. Vielleicht nach c auflösen oder so was in der Art? Also wäre net, wenn mir einer Tipps zum Lösungsweg geben würde.

27.08.2005, 12:54

Frooke

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$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g_c \end{eqnarray*}$ berühren sich genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} f(x_0)=g_c(x_0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f'(x_0)=g'_c(x_0) \end{eqnarray*}$ gilt.

Damit sollte es gehen. Sonst nachfragen!

27.08.2005, 12:58

sqrt(2)

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Du lässt die beiden Graphen schneiden, zusätzlich dazu müssen die beiden Graphen an der Schnittstelle noch die gleiche Steigung haben. Je nachdem, wie du es für geschickt hältst, wählst du die Reihenfolge der Bedingungen. Aus der jeweils zweiten Bedingung erhältst du c.

(Für die erste Aufgabe gefällt mir die Lösung übrigens sehr... smile

)

27.08.2005, 13:44

brunsi

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hihi, mir auch!!

27.08.2005, 16:25

Dennhen

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Viel Dank für die schnellen Antworten, ich werds mal rechnen und die Lösungen dann hier schreiben, ob ich es richtig gerechnet habe. Und auf die Lösung der ersten Aufgabe bin ich besonders gespannt Freude

--------------------------------------------- E D I T ---------------------------------------------

Also bei der a habe ich raus, dass das c 1 oder -1 sein kann, stimmt das? Ich habe das einfach an den Graphen abgelesen, aber wie mache ich das bei der b rechnerisch? Wenn zwei Graphen die gleiche steigung haben, wie können sie sich dann schneiden? verwirrt

edit by mercany: Doppelposts zusammengefügt. Bitte benutze die edit-Funktion!

@ mercany, sorry, ich werde mich demnächst dran halten (-;

27.08.2005, 22:52

sqrt(2)

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Zitat:

Original von Dennhen
Also bei der a habe ich raus, dass das c 1 oder -1 sein kann, stimmt das?

Nein.

Zitat:

Original von Dennhen
Ich habe das einfach an den Graphen abgelesen

Fragt sich nur, wie.

Zitat:

Original von Dennhen
Wenn zwei Graphen die gleiche steigung haben, wie können sie sich dann schneiden? verwirrt

Sie schneiden sich dann nicht, aber sie berühren sich.

27.08.2005, 23:36

Dennhen

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Du lässt die beiden Graphen schneiden, zusätzlich dazu müssen die beiden Graphen an der Schnittstelle noch die gleiche Steigung haben.

Deswegen dacht ichs (-;

Nun aber zur Aufgabe,

Ich setze also: sin (x) = cos (x) + c, und die zweite gleichung cos(x) = -sin (x)

also: sin(x)=-sin(x) + c
2*sin(x)=c

Das wäre meine rechnerische Lösung smile

28.08.2005, 14:01

sqrt(2)

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Seit wann ist $\begin{eqnarray*} \cos x = -\sin x \end{eqnarray*}$ ?

28.08.2005, 16:53

Dennhen

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sin (x) = cos (x) + c
--> f(x)

cos(x) = -sin (x)
--> f'(x)

Funktion gleich und erste Ableitung gleich, deshalb kann ich doch in sin (x) = cos (x) + c , für cos(x) , -sin (x) einsetzen, oder?

Sonsten wäre ich für Aufklärung auf meinem Holzweg sehr dankbar smile

28.08.2005, 20:09

sqrt(2)

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Ach so meinst du das...

Da x in beiden Gleichungen dasselbe bedeutet, sind alle Gleichungen, die du da stehen hast, wahr, allerdings verlierst du beim Gleichsetzen Information, denn wie willst du aus

$\begin{eqnarray*} 2\sin x = c \end{eqnarray*}$

x oder c bestimmen? Eine geschickte Vorgehensweise wäre folgende: Bestimme die Lösungen von

$\begin{eqnarray*} \cos x = -\sin x \end{eqnarray*}$

und setze diese in die erste Gleichung ein, die du dann nach c auflösen kannst.

28.08.2005, 20:48

Dennhen

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Hast recht, bei 2*sin(x)=c kam ich nicht weiter.

cos(x) = - sin(x)

con(x) + sin(x) = 0

Bloß für was soll ich das einsetzen?
--> Mit der ersten Gleichung meinst du "sin (x) = cos (x) + c" ?

Ich hoffe ich verstehs heute abend noch, sonst ists dumm morgen in mathe...

28.08.2005, 23:43

sqrt(2)

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Aus

$\begin{eqnarray*} \cos x + \sin x &=& 0 \\ \cos x + \cos \left(x-\frac{\pi}{2}\right)&=&0 \end{eqnarray*}$

kannst du erst einmal alle x ermitteln, an denen sich theoretisch eine Berührstelle ergeben könnte, weil dort die Steigungen identisch sind. Diese x setzst du dann in die erste Gleichung

$\begin{eqnarray*} \sin x - \cos x - c = 0 \end{eqnarray*}$

ein, und erhältst c.

29.08.2005, 01:33

Ace Piet

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Ich würde aus cos(x)=-sin(x) nach tan(x)=-1 umformulieren oder mich an die "besonderen" Werte von sin und cos 0°, 30°, 45°, 60°, 90° erinnern. Jedenfalls erhält man in [-pi; +pi] genau einen Wert, der die Steigungsbedingung erfüllt. - Na?! (Es ist betragsweise die Hälfte eines Usernamens hier *g*)

Dieses x setzt man in Sin(x)= cos(x) +C ein... C= -sqrt(2) ist der vertikale Verschiebungswert. (Die Lösung wäre demnach MINUS Username *g*)

29.08.2005, 13:09

sqrt(2)

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Du unterschlägst eine Lösung.

$\begin{eqnarray*} \tan x = -1 \end{eqnarray*}$

hat in $\begin{eqnarray*} [-\pi,\pi] \end{eqnarray*}$ zwei Lösungen... (der Tangens ist nur $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ -periodisch!)

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