Arithmetische und geometrische Reihen

16.02.2008, 15:58

Eduard

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Arithmetische und geometrische Reihen

Hi Leute,

ich habe total Schwierigkeiten die Arithemtischen und Geometrischen Reihen nach bestimmten Buchstaben aufzulösen. Kann mir vllt jem. weiterhelfen. Ich wäre über aus sehr dankbar.

Beispiel:
Arithmetische Reihen

Formel:
Sn= N/2 (2* a1 + (n-1) d)

An= a1+(n-1) d

Gegeben sind: n, an, Sn Gesucht: a1, d

__________________________________________

Beispiel
Geometrische Reihen

Formel:

Sn= a1*qn - 1/qn - 1

An= a1* qn - 1

Gegeben sind: an, q, n Gesucht: a1, Sn

____________________________________________

Freue mich auf Eure Beiträge!Danke!

Lg
Edu

Edit mY+: Keine Hilferufe im Titel bitte!

16.02.2008, 16:19

system-agent

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Benutze bitte den Formeleditor.

Ich nimm mal das Erste und schreibe es mal mit dem Formeleditor:
$\begin{eqnarray*} S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_n=a_1+(n-1)d \end{eqnarray*}$

Du musst beide Formeln kombinieren. Löse zunächst mal die Zweite nach $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ , damit man dieses in der Ersten ersetzen kann und damit $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ ausrechnen kann.

Das heisst, löse nach $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} a_n=a_1+(n-1)d \end{eqnarray*}$

Bringe zunächst alles ohne $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ auf die linke Seite und dividiere dann durch $\begin{eqnarray*} (n-1) \end{eqnarray*}$ (das ist möglich, falls $\begin{eqnarray*} n\neq1 \end{eqnarray*}$ , denn sonst würdest du durch Null dividieren).

18.02.2008, 16:43

Eduard

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Hi, danke für deine Hilfe!

Ich konnte es soweit bei der Arithmetische Reihen einsetzen und umsetzen, aber bei den geometrische Reihen bin ich wieder am Boden meiner Nerven. Würde mich über weitere Vorschläge freuen! Danke!

18.02.2008, 16:54

AD

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Zitat:

Original von Eduard (korrigiert)
Beispiel
Geometrische Reihen

Formel:

$\begin{eqnarray*} S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_n = a_1 \cdot q^{n - 1} \end{eqnarray*}$

Gegeben sind: $\begin{eqnarray*} a_n, q, n \end{eqnarray*}$ Gesucht: $\begin{eqnarray*} a_1, S_n \end{eqnarray*}$

Wo ist das Problem?

$\begin{eqnarray*} a_n = a_1 \cdot q^{n - 1} \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ umstellen - und dieses $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ dann in die Formel für $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ einsetzen. Fertig.

19.02.2008, 16:17

Eduard

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Hi,

genau ist da mein problem. I kann die Formel nicht richtig umstellen. Mein Problem ist nicht, dass ich es nicht weiss wohin ich es umsetzen muss, sondern die Umstellung der Formel in dem Fall auf $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

19.02.2008, 16:50

AD

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Du kennst doch $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , zumindest deiner Aussage nach. Was hältst du dann von simpler Division der Gleichung durch das dann bekannte $\begin{eqnarray*} q^{n-1} \end{eqnarray*}$ ???

$\begin{eqnarray*} a_n = a_1 \cdot q^{n - 1} \qquad \Big| \; : \; q^{n-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{a_n}{q^{n-1}} = a_1 \end{eqnarray*}$

Manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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19.02.2008, 17:13

Eduard

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Danke! I bin manchmal echt ungeduldig. Aber i habe soweit alle Aufgaben geschafft! Nun habe ich noch einen riesigen Aufgabenzettel auf dem befinden sich nur Geo und Ari Reihen unglücklich

unglücklich

. I bin gespannt...

Ich meld mich wieder! Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.02.2008, 17:39

Eduard

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I bin wieder zurück...

Die Aufgabenstellung besagt:

Arithmetischer Reihen,

Gegeben sind: $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ =43; $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ =302; $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ =6665

Gesucht sind: $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$

Ich habe damit begonnen zunächst die Arithmetische Formel aufzustellen.

$\begin{eqnarray*} S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_n=a_1+(n-1)d \end{eqnarray*}$

Danach habe i versucht mit der zweiten Formel es nach aufzulösen, bin aber zu keinen Ergebnis gekommen. Wo beginne ich?!, weil es fehlt a und d.

19.02.2008, 19:03

AD

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Wenn dir die Variablen zu schaffen machen, dann setze doch mal die gegebenen Werte $\begin{eqnarray*} n=43,a_n=302,S_n=6665 \end{eqnarray*}$ in

$\begin{eqnarray*} S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_n=a_1+(n-1)d \end{eqnarray*}$

ganz konkret ein:

$\begin{eqnarray*} 6665 = 43a_1+ 903d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 302 = a_1 + 42d \end{eqnarray*}$

Was ist das dann? Nun nichts weiter als ein 2x2 lineares Gleichungssystem für die beiden Unbekannten $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ .

19.02.2008, 20:09

Eduard

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Oh...darauf bin ich gar nicht gekommen. I bin immer nur davon ausgegangen es mit den Formeln lösen zu können! Danke!

Ich versuchs einfach weiter!

19.02.2008, 20:55

Eduard

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So...neuer Versuch...stehe nun davor...die Geometrischen Aufgaben in Angriff zu nehmen.

Ich habe die Aufgaben versucht, aber irgendwie bekomme ich keine richtige Lösung!

Die Aufgabe lautet:

Gegeben sind: $\begin{eqnarray*} a_1= 7; q= 5; an= 21875 \end{eqnarray*}$

Gesucht sind: $\begin{eqnarray*} n; Sn \end{eqnarray*}$

Ich habe damit angefangen und diese Formel die Zahlen eingefügt:

$\begin{eqnarray*} An= a_1 \cdot qn - 1 \end{eqnarray*}$

21875= $\begin{eqnarray*} 7 \cdot 5n - 1 \end{eqnarray*}$

21875= 35n - 1?!?

Hier war auch nun wieder vorbei für mich und nun wusste ich nicht wie ich vorgehen sollte. I hatte eine Vermutung die Wurzel aus der An zu ziehen aufgrund der n oder?!

19.02.2008, 20:59

system-agent

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Um nach $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ zu lösen:
Addiere 1 auf beiden Seiten und dividiere dann beide Seiten durch 35.

19.02.2008, 21:06

Eduard

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Das klappt aber net wirklich oder ich bin einfach zu blöd dafür.

Ich habe nun auf jeder Seite +1 addiert und dividiert!

D.h.

21875= 35n

21876= 35n /35

625,02=n ?!?!

Ist das die richtige Lösung?! I habe das Gefühl nicht!

19.02.2008, 21:10

system-agent

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Dann nimm mal die Gleichung
$\begin{eqnarray*} 21875= 35n \end{eqnarray*}$
und setze einfach mal deine Lösung ein. Ergibt sich eine wahre Aussage, dann war die Lösung richtig, ergibt sich eine falsche Aussage, dann war die Lösung falsch.

19.02.2008, 21:14

Eduard

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Falsch mein Taschenrechner sagt: Error.

Ich verstehe es einfach net, ich habe addiert und dividiert. Ich hatte ein Ergebnis von 625 ist einfach zu hoch.

Wo war mein Fehler=?! Was denkst du?!

19.02.2008, 21:19

system-agent

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Sry, hab da eine "+1" vergessen.

Aber nach meiner Rechnung stimmt dein Ergebnis fast. Das Problem ist dass du eine Kommazahl hinschreibst, lass doch lieber einen vollständig gekürzten Bruch stehen !

19.02.2008, 21:22

Eduard

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hmm..I Blick gar net mehr durch. mit plus 1 da und minus 1 smile

smile

Wärst du so net die Aufgabe Schritt für Schitt aufzuschreiben!

19.02.2008, 21:27

system-agent

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Ich meinte in der Gleichung die ich hingeschrieben habe an der du deine Lösung testen solltest.

Aber OK:
$\begin{eqnarray*} 21875= 35n - 1 \end{eqnarray*}$
Addiere die 1 auf beiden Seiten:
$\begin{eqnarray*} 21876=35n\underbrace{-1+1}_{=0} \end{eqnarray*}$
Also
$\begin{eqnarray*} 21876=35n \end{eqnarray*}$
Wir wollen das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ isolieren, also dividiere durch 35:
$\begin{eqnarray*} n=\frac{21876}{35} \end{eqnarray*}$

Nun noch kürzen und das Ergebnis steht da.

Ich würde dir aber wirklich empfehlen nochmals viele Aufgaben zum einfachen Lösen von Gleichungen zu machen.

19.02.2008, 21:33

Eduard

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Ah..ok nun habe ich auch meinen Fehler erkannt. Ich werde deine Rat auf jeden Fall befolgen. Danke!

Zudem habe i nur einmal Mathe in der Woche, weil i auf einer Fachschule für Sozialpädagogik bin. Trotzdem möchte i mein Fachabi erreichen und deshalb muss ich mich auch durch diese Aufgaben durchbeißen!

19.02.2008, 21:42

Eduard

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Stop.

Aber irgendwie kann es doch net Stimmen. Das Ergenis ist etwas mit 625,...

So diese Zahl nehme ich q=5 hoch 625,...das ist einfach zu hoch und mein Taschenrechner sagt Error. Ich kann nicht mehr....

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