Abitur Nachtermin 06

16.02.2008, 17:13

Klaudia

Abitur Nachtermin 06

Hallo, mit dieser Aufgabe komme ich überhaupt nicht klar:
In einem Land mit ca. 6,0 Millionen Haushalten gab es zu Beginn des Jahres 2004 etwa 3,0 Millionen Haushalte mit einem DVD-Player.
Die Entwicklung der Anzahlen (in Milionen) seit dem Jahr 2000 kann modellhaft durch eine Funktion g dargestellt werden, die für x> 0 der Differentialgleichung
g'(x)=0,2*(5,2-g(x)) genügt.
Dabei ist x die Anzahl der seit Beginn des Jahres 2000 vergangenen Jahre.

a) Bestimmen Sie einen Funktionsterm der Funktion g.
Mit welcher Anzahl von Haushalten mit DVD-Playern ist langfristig zu rechnen?
Zu welchem Zeitpunkt steht in 70% der Haushalte des Landes ein DVD-Player?
Bestimmen Sie die mittlere Anzahl von Haushalten mit DVD-Player von Anfang 2000 bis zu diesem Zeitpunkt.
Wann lag die Änderungsrate der Anzahlen erstmals unter 0,6 Milionen pro Jahr?

b) Welche Größe wird durch g'(4) beschrieben?
Erläutern Sie, wie man nur mit Hilfe von g'(4) und g(4) einen Näherungswert für g(4,5) berechnen kann. Besimmen Sie diesen Näherungswert.
Begründen Sie, warum dieser Näherungswert größer als g(4,5) ist.

Edit mY+: Der Titel ist nicht die Aufgabenstellung beschreibend! unglücklich

17.02.2008, 15:24

mYthos

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Hallo,

hast du eigentlich schon irgendeinen Ansatz?

Hinweise:

Es ist die inhomogene Differentialgleichung 1. Ordnung

$\begin{eqnarray*} g'(x) = 1,04 - 0.2 \cdot g(x) \end{eqnarray*}$

zu lösen. Dazu löst du zuerst die homogene ->

$\begin{eqnarray*} g'(x) = - 0.2 \cdot g(x) \end{eqnarray*}$

mittels Trennung der Variablen. Die Lösung bezeichnen wir mit $\begin{eqnarray*} g_h(x) \end{eqnarray*}$ .

Nun gibt es zwei Methoden, die eine funktioniert immer, die andere nur dann, wenn es eine partikuläre (einzelne) Lösung gibt, welche konstant ist.

1.
Wir machen den Ansatz

$\begin{eqnarray*} g_p(x) = c(x) \cdot \underline{g_h(x)} \ \ \ldots \ \underline{g_h(x)} \text{ ist die Funktion bei } g_h(x) \text{ ohne die Konstante } \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} g_p(x) \end{eqnarray*}$ eine partikuläre Lösung der Differentialgleichung bezeichnet. Durch Einsetzen in die gegebene Differentialgleichung kann $\begin{eqnarray*} c(x) \end{eqnarray*}$ ermittelt werden. Diese Methode nennt man Variation der Konstanten.

2.
Wir versuchen, eine partikuläre Lösung zu ermitteln, welche konstant ist. Wir nennen sie u und setzen sie in die Diff.gl. ein (u' = 0):

0 = 1,04 - 0.2 u
->
u = 5.2

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g_p(x) = 5.2 \end{eqnarray*}$

Das ging natürlich hier wesentlich schneller! Big Laugh

Die Gesamtlösung setzt sich letztendlich additiv aus den beiden Lösungen zusammen:

$\begin{eqnarray*} g(x) = g_h(x) + g_p(x) \end{eqnarray*}$

In dieser gibt es noch eine Konstante c, die mittels der gegebenen Anfangsbedingung (Im Jahr 2004: x = 4, g(4) = 3) berechnet wird.
Wenn dann g(x) bekannt ist, kann diese gezeichnet bzw. diskutiert werden (x = 0 im Jahre 2000, x = 4 im Jahr 2004, x = 5 im Jahre 2005, ...; g in Mio).

Jetzt bist du am Zug! Die Skizze unten kann dir vielleicht noch etwas helfen.

mY+

Bitte in Hinkunft den Titel entsprechend der Aufgabenstellung wählen!

17.02.2008, 19:20

Bjoern1982

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Zitat:

n dieser gibt es noch eine Konstante c, die mittels der gegebenen Anfangsbedingung (zu Beginn x = 0, g(0) = 3) berechnet wird.

Nicht eher g(4)=3 ?

Und man kann doch auch direkt alles mit Separation machen oder ?

$\begin{eqnarray*} - \int ~\frac{-dg}{5,2-g} = \int ~0,2~dx \end{eqnarray*}$

usw...

17.02.2008, 22:05

mYthos

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Ahh, das Ganze fängt ja schon im Jahre 2000 an, das habe ich übersehen, danke!. Also klar, g(4) = 3, ich werd' den Plot oben später noch korrigieren.

Auch die direkte Separation ist offensichtlich hier möglich, also kann sich Klaudia sogar den Weg aussuchen .. Big Laugh

mY+

17.02.2008, 22:54

Klaudia

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Differentialgleichung/beschränktes Wachstum
Stimmt die Funktion g?

$\begin{eqnarray*} g(x)=S-c*e^{-kt} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k=0,2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} S=5,2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3=5,2-c*e^{-0,2*4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c=4,896 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x)=5,2-4,896* e^{-0,2t} \end{eqnarray*}$

17.02.2008, 23:49

mYthos

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Ja, das stimmt so (sh. den Plot oben, er ist schon korrigiert). Wie hast du es berechnet? Und - kannst du die anderen Fragen auch beantworten?

mY+

Schön, dass du nun den richtigen Titel gefunden hast Big Laugh

18.02.2008, 00:03

Klaudia

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Differentialgleichung/beschränktes Wachstum
Bei den weiteren Fragen fällt es mir schwerer:

"langfristig", muss man da den Grenzwert bestimmen?
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } g(x)=5,2 \end{eqnarray*}$

gesucht: Zeitpunkt, zu dem in 70% der Haushalte ein DVD-Player steht.
g(t)=0,7*6=4,2
Nach 4,2 Jahren steht in 70% der Haushalte ein DVD-Player.

$\begin{eqnarray*} m=\frac{1}{4} *\int_{0}^{4}~ g(x)dt=1,83 \end{eqnarray*}$
Die mittlere Anzahl von Haushalten mit DVD-Player berträgt 1,83.

g'(x)=1,04-0,2*(5,2-4,896*e^(-0,2t))
g'(x)=0,9792*e^(-0,2t)
0,6>0,9792*e(-0,2t)
-1/0,2*ln(0,6/0,9792)>t
2,45>t
Nach 2,45 Jahren lag die Änderungsrate der Anzahlen erstmals unter 0,6 Millionen pro Jahr.

b) g'(4)= momentane Änderungsrate zu Beginn des Jahres
g(4,5)= g(4) +0,5*g'(4)

Das Schaubild von g ist wegen g''(x)>0 rechtsgekrümmt (die Funktion liegt unterhalb der Tangenten);
deswegen ist der Näherungswert größer als der exakte Wert im Modell.

Stimmt etwas davon?
Danke!

18.02.2008, 01:00

mYthos

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Grenzwert 5.2 Mio: Richtig!

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- 70% der Haushalte sind 4,2 Mio Haushalte, aber nicht nach 4,2 Jahren!
Du musst also jenen x-Wert suchen, bei welchem g(x) = 4,2
->

$\begin{eqnarray*} 5.2 - 4.896 e^{-0.2x} = 4.2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

dabei müssen sich fast genau 8 Jahre ergeben! Dadurch ändert sich auch die mittlere Anzahl ...

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2.45 Jahre sind richtig

-------

g'(x) bezeichnet die Änderungsrate der HH-Anzahlen
g'(4) ist die Änderungsr am Beginn des 4. Jahres, das ist richtig

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Der exakte Wert g(4.5) = 3.21, der von dir richtig angesetzte Näherungswert g(4) + 0.5*g'(4) = 3.22

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g''(x) ist nicht positiv, sondern negativ! Für die Kurve gilt gerade in diesem Fall: Rechts gekrümmt. Der Näherungswert ist etwas größer, als der exakte Wert, das stimmt!

mY+

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