Stetigkeit von f(x)=x² in x=1

16.02.2008, 17:14

PimpWizkid

Stetigkeit von f(x)=x² in x=1

Heyho!
Hab grad ein riesen Brett vorm Kopf... komm nicht mehr darauf wie ich oben genanntes mit dem epsilon-delta-kriterium zeigen kann.

Eigentlich hatte ich vor es so zu machen:
$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(x_{0})|=|x^{2}-1|=|x-1|\cdot|x+1]<\varepsilon \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow |x-1|<\delta=\frac{\varepsilon}{|x+1|} \end{eqnarray*}$

Aber jetzt frag ich mich die ganze Zeit wo da der Sinn ist... Ich müsste doch jetzt ein erhalten, das nur von $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ abhängt, oder? Ich blick nicht mehr durch...

Kann mir wer das dämlich Brett wegnehmen, bitte Hammer

16.02.2008, 17:18

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

die idee ist genau richtig.
aber um jetzt noch |x+1| in den griff zu bekommen, sorgen wir z.b. dafür, dass x sich nur zwischen 0 und 2 bewegt, so dass $\begin{eqnarray*} |x+1|<3 \end{eqnarray*}$ gilt. dies schafft man durch folgende wahl von delta:
$\begin{eqnarray*} \delta := \min (1,\frac{\varepsilon}{3}) \end{eqnarray*}$

16.02.2008, 17:31

PimpWizkid

Auf diesen Beitrag antworten »

Ein bischen ist das Brett schon weg, danke! Jetzt frag ich mich grad nur, warum ich das x denn so einschränken darf... dann könnte ich doch x auch einfach auf einen einzigen Wert einschränken, oder? Z.B. x=0 dann wär $\begin{eqnarray*} \delta=1 \end{eqnarray*}$ doch viel schöner, oder?

16.02.2008, 17:37

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von PimpWizkid
etzt frag ich mich grad nur, warum ich das x denn so einschränken darf

warum sollte man das nicht dürfen? stetigkeit ist schließlich eine lokale eigenschaft, da macht es sogar sinn x in die nähe von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ zu "zwingen".

Zitat:

Original von PimpWizkid
... dann könnte ich doch x auch einfach auf einen einzigen Wert einschränken, oder? Z.B. x=0 dann wär $\begin{eqnarray*} \delta=1 \end{eqnarray*}$ doch viel schöner, oder?

das wiederum macht keinen sinn. schau dir das epsilon-delta-kriterium nochmal genau an.
delta ist in den seltensten fällen von epsilon unabhängig. und x kann nie auf einen einzigen wert eingeschränkt werden, sondern nur auf eine umgebung von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ . und bekanntlich enthält jede umgebung einer reellen zahl unendlich viele reelle zahlen.

16.02.2008, 17:41

PimpWizkid

Auf diesen Beitrag antworten »

hmm, klingt auf einmal logisch... ich glaub ich hör für heute auf mit mathe Augenzwinkern

Danke dir!

17.02.2008, 10:45

PimpWizkid

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmmm... die Aufgabe hab ich jetzt verstanden! Habs mir das mit dem $\begin{eqnarray*} \delta:=\min(1,\frac{\varepsilon}{3}) \end{eqnarray*}$ auch mal anschaulich klar gemacht.

Jetzt soll ich zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f(x)=|x| \end{eqnarray*}$ stetig ist.

Das ganze sieht ja so aus:

http://leuker.net/michael/img/x-Betrag.JPG

$\begin{eqnarray*} f(x)=|x|=\begin{cases}-x & \text{wenn }x<0\\0 & \text{wenn }x=0\\x & \text{wenn }x>0\end{cases} \end{eqnarray*}$

Kann ich jetzt davon ausgehen, dass die Funktionen $\begin{eqnarray*} f(x)=x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x)=-x \end{eqnarray*}$ stetig sind? Dann muss ich ja nur noch zeigen dass die links- und rechtsseitigen Grenzwerte von $\begin{eqnarray*} x\to 0 \end{eqnarray*}$ dieselben sind, oder?

Dann gilt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \nearrow 0} |x|=0=\lim_{x \searrow 0} |x|\Rightarrow f(x)=|x| \text{stetig auf }\mathbb R \end{eqnarray*}$

17.02.2008, 13:13

Frooke

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist fast richtig. Du musst auch noch zeigen, dass das mit dem Funktionswert an dieser Stelle übereinstimmt, also

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \nearrow 0} |x|=f(0)=0=\lim_{x \searrow 0} |x|\Rightarrow f(x)=|x| \text{stetig auf }\mathbb R \end{eqnarray*}$

EDIT: Vllt. hast Du das aber auch schon so gemeint, aber allgemein nützt es nichts, wenn z.B. die beiden Limiten 0 ergeben und f(0)=3...

17.02.2008, 14:00

PimpWizkid

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast recht, klar! Das hatte ich aber auch angenommen... Danke!

Neue Frage »

Antworten »

Stetigkeit von f(x)=x² in x=1

Verwandte Themen