vier Kugeln auf einem Tisch alle, berühren sich

16.02.2008, 18:50

Richinator

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vier Kugeln auf einem Tisch alle, berühren sich

also ich ahbe ne aufgabe gekriegt und hab zwar schon lösungsansatzaba das haut nich hin weil es nich der radius ist den ich ausrechne

es geht zwar um geometrei aber ich soll nich jetzt einen radius z. B. einsetzen und ausrechnen sondern nur ne formel erstellen

Aufgabe: Auf eienr Tischplatte liegen vier Kugeln, die sich alle einander berühren. Drei Kugeln davon haben den Radius R.
Welchen Radius hat die vierte Kugel?

so ich hab die formel nu so erstellt

R von kl. Kugel = Wurzel von R²+R² - R
(kp wie man hier formeleditor benutzt)

HELFT MIR BITTE

16.02.2008, 20:22

Leopold

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Beachte, daß die Mittelpunkte der vier Kugeln nicht in einer Ebene liegen. Vielmehr ist die Tischebene diejenige Ebene, die die untersten Punkte der Kugel als Berührpunkte enthält.

Man kann $\begin{eqnarray*} R=1 \end{eqnarray*}$ annehmen. Hat man den Radius $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ der vierten Kugel in diesem Spezialfall bestimmt, so muß man im allgemeinen Fall dieses Ergebnis noch mit $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ multiplizieren (Streckung mit dem Faktor $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ).

Die drei Kugeln vom Radius $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ denken wir uns in ein kartesisches $\begin{eqnarray*} x_1x_2x_3 \end{eqnarray*}$ -Koordinatensystem gelegt, so daß ihre Mittelpunkte die Koordinaten $\begin{eqnarray*} M_1=(-1,0,0), M_2=(1,0,0), M_3=(0,\sqrt{3},0) \end{eqnarray*}$ haben (gleichseitiges Dreieck). Die vierte Kugel schiebt sich unter die andern drei Kugeln. Mit den anderen drei Kugeln liege sie auf der Ebene $\begin{eqnarray*} x_3 = -1 \end{eqnarray*}$ . Man kann den Fall annehmen, daß ihr Mittelpunkt dann gerade $\begin{eqnarray*} M=(0,a,-1+r) \end{eqnarray*}$ ist. Es seien jetzt $\begin{eqnarray*} d_1,d_2,d_3 \end{eqnarray*}$ die Abstände von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} M_1,M_2,M_3 \end{eqnarray*}$ . Diese Abstände lassen sich mit analytischer Geometrie berechnen, sind aber andererseits im Falle der Berührung gerade $\begin{eqnarray*} 1+r \end{eqnarray*}$ .

Keine elegante Lösung, aber immerhin ...

19.02.2008, 17:48

Richinator

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sorry aber des hab ich grade nich verstanden
sind so viele variablen drin und was ist den nun das ergebnis bei deiner rechnung?

ausserdem ich hab das so gezeichnet als guckt man von der seite auf die kugeln und da würde man dann hinten noch die dritte große kugel sehen

und wir sollen nicht annehmen dass der radius 1 ist sondern eiene formel entwickeln mit der man verschiedene r's einsetzen kann

19.02.2008, 18:56

Leopold

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Dann nehmen wir eine Variable weniger. Wenn du von oben auf die drei Kugeln schaust, dann muß die vierte Kugel ihren Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ unterhalb des Mittelpunktes des gleichseitigen Dreiecks mit den Ecken $\begin{eqnarray*} M_1,M_2,M_3 \end{eqnarray*}$ haben, welcher in diesem Fall zugleich der Schwerpunkt $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ ist.

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OS} = \frac{1}{3} \left( \overrightarrow{OM_1} + \overrightarrow{OM_2} + \overrightarrow{OM_3} \right) = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{\sqrt{3}}{3} \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die ersten beiden Koordinaten von $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ sind zugleich die ersten beiden Koordinaten von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ . Die dritte Koordinate von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ liegt nun um $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ , den gesuchten Radius, höher als die Tischebene (die hat aber das Niveau $\begin{eqnarray*} x_3=-1 \end{eqnarray*}$ ), ist also $\begin{eqnarray*} -1+r \end{eqnarray*}$ . Und damit kannst du für $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ den vereinfachten Ansatz

$\begin{eqnarray*} M = \left( 0 , \frac{\sqrt{3}}{3} , -1+r \right) \end{eqnarray*}$

machen.

Und warum beschwerst du dich einerseits, daß da zu viele Variablen sind, und forderst andererseits, mit allgemeinem $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ zu rechnen? Ich habe am Anfang meines ersten Beitrags erklärt, wie man ohne Schwierigkeiten vom speziellen zum allgemeinen Fall kommt. Man braucht dieses $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ also zunächst nicht. Und jetzt hast du nur noch $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ als einzige Variable im Spiel. Und wie gesagt - Berührung heißt:

Summe der Radien = Abstand der Mittelpunkte

Es ergibt sich übrigens ein sehr einfaches Ergebnis für $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ , was mich zur Vermutung bringt, daß alles auch viel einfacher zu lösen ist. Um eine elementare Lösung sollen sich dann andere kümmern ...

20.02.2008, 14:56

Richinator

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also ich bin der meinung man muss das auch einfacher löen können ohne eine dritte ebene (koordinatensystem bei uns jetzt 2 werte für einen punkt, bei dir drei)
und wie kommst du auf die strecke OS also mit sonem pfeil drüber ?
du hast gar nicht gesagt was O ist

20.02.2008, 15:22

lölchen

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hich würde sagen das die 4 kugel noch kleiner sein muss "das sie hoch rutscht" und alle kugeln den mittelpunkt in einer ebene haben

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20.02.2008, 16:36

Leopold

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Die Pfeile bezeichnen Vektoren, der Punkt $\begin{eqnarray*} O \end{eqnarray*}$ ist ein irgendwie fest gedachter Punkt (Ursprung). Aber wenn du keine Vektoren kennst - es geht auch ganz ohne.

Schneidet man die Kugeln wie Orangen mitten durch und legt man sie auf den Tisch, mit der aufgeschnittenen Seite nach oben, so ergibt sich das linke Bild (Vogelperspektive).

[attach]7633[/attach]

Wie groß sind $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ? Die Zahlenwerte kann man konkret angeben.
Und direkt unter dem Punkt $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ liegt der Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ der gesuchten Kugel. Jetzt betrachte das Dreieck $\begin{eqnarray*} M_1SM \end{eqnarray*}$ (rechtes Bild). Mit seiner Hilfe kann $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ berechnet werden.

21.02.2008, 15:01

Richinator

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also könnte man mit hilfe des linekn bildes strecke b ausrechnen mit dem
cos 30°= r:b umstellen nach b
und dann mit b r ausrechnen mit dem rechten bild
dazu cos 45° = b: R+ r der kl. kugel
so des umstelen nach R+r
und den minus R
dann ahb ichs oda????????

21.02.2008, 15:38

Leopold

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Du kannst natürlich Trigonometrie verwenden, aber eigentlich geht es ganz ohne: im ersten Bild den Satz des Pythagoras auf das halbe gleichseitige Dreieck anwenden und den Satz über die Seitenhalbierenden beachten. Wie gesagt, mit $\begin{eqnarray*} \cos 30^{\circ} \end{eqnarray*}$ geht es natürlich auch, ist aber sehr bemüht.
Wo ist im zweiten Bild ein 45°-Winkel? Das ist eine Unterstellung, für die ich keine Anhaltspunkte sehe. Laß den Satz des Pythagoras auf das eingezeichnete Dreieck los. Beachte, daß man auch die hellblaue Strecke leicht durch andere Strecken ausdrücken kann.
Den Tip mit $\begin{eqnarray*} R=1 \end{eqnarray*}$ willst du offensichtlich nicht verwenden. Gut, du kannst auch mit allgemeinem $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ rechnen. In deinen Aufzeichnungen solltest du aber aufpassen, wann es $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ und wann $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ heißen muß. Da geht einiges durcheinander.

Und dann der Klassiker: Warum setzen nur die Leute nie Klammern? b:R+r zum Beispiel ist einfach falsch. Das ist nicht nur eine kleine Nachlässigkeit, sondern ein schwerer Verstoß gegen die mathematische Grammatik: Der Term ist zerstört. Richtig soll es wohl b : (R+r) heißen. Aber es ist ja sowieso falsch, wegen der falschen 45°.

21.02.2008, 18:21

Mathegreis

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Hallo, Richinator,

folgender Lösungsvorschlag:

Ausgangslage: Vier Kugel haben ihre Auflagepunkte in einer gemeinsamen Ebene.
Drei große Kugeln mit dem Radius $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ berühren sich gegenseitig; die kleine Kugel mit dem Radius $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ berührt die drei großen Kugeln. Das bedeutet: Die Mittelpunkte der vier Kugeln bilden die Eckpunkte einer Dreieckspyramide mit einem gleichseitigen Dreieck als Grundfläche. (Mittelpunkte der drei großen Kugeln)

Seitenlänge des gleichseitigen Dreiecks: $\begin{eqnarray*} s =2*R \end{eqnarray*}$

Seitenkante der Pyramide: $\begin{eqnarray*} s_k =R + r \end{eqnarray*}$

Höhe der Pyramide: $\begin{eqnarray*} h = R - r \end{eqnarray*}$

Der Aufsatzpunkt der Pyramidenhöhe liegt in der Ebene der Mittelpunkte der drei großen Kugeln und zwar im Abstand von $\begin{eqnarray*} d = \frac{2}{3}*R*\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ von einem Kugelmittelpunkt.

Mit Hilfe des Pythagoras kannst Du nun aus diesen Angaben den kleinen Radius berechnen.

21.02.2008, 20:47

Leopold

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@ Mathegreis

Nun, das ist genau das, was auch schon in meinem vorletzten Beitrag steht. Nur nimmst du Richinator die letzte Möglichkeit nachzudenken, da du ihm jetzt auch noch die Länge der Strecke $\begin{eqnarray*} SM \end{eqnarray*}$ verrätst.

21.02.2008, 21:18

Mathegreis

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@Leopold

Bitte vielmals um Entschuldigung!
Da der ursprünglich eingeschlagene Weg ja offensichtlich nicht weiter beschritten wurde, auch kein Ergebnis gebracht hat, und ferner jetzt an einer Lösung über Vektoren gearbeitet wurde, dachte ich mir, den einfachen Weg einfach mal zu Ende zu gehen. Von einer Pyramide habe ich in Deinem Beitrag nichts gelesen.
Wollte Euren Vektor-Diskurs überhaupt nicht stören. Im Übrigen hat er doch noch gut an der Aufgabe zu rechnen. Mein Vorschlag sollte auf gar keinen Fall ein Grund sein, die Vektorrechnung jetzt abzubrechen!

22.02.2008, 15:52

Richinator

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@ Leopold

verwirrt

was soll ich mit der hellblauen linie im 2. bild anfangen ich kann sie doch nicht errechnen, weil mir r fehlt

deswegen hab ich mir gedacht dass der winkel am Punkt M1 45° groß ist weil man doch das rechtwinklige dreiecke so umklappen kann dass die beiden ein rechteck bilden
dort sind alle winkel 90° und deswegen schneidet die diagonale R+r den 90° winkel in 2 45° winkel

soll die pyramide die ihr meint so aussehen??

22.02.2008, 16:11

Mathegreis

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Hallo, Richinator,

Deine Ausgangsaufgabe hatte doch nur drei große Kugeln!

Die Mittelpunkte dieser drei Kugeln bilden die Grundfläche für die Pyramide.

Es ist eine Dreiecks-Pyramide.

22.02.2008, 16:57

Leopold

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... und die Höhe der Pyramide ist die Länge von $\begin{eqnarray*} SM \end{eqnarray*}$ . Die Pyramide steht also "auf dem Kopf" mit der Spitze nach unten.

Schau noch einmal in meine Zeichnung. Zunächst solltest du $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ berechnen, von mir aus mit dem Cosinus von 30° - aber bitte nicht mit einem Taschenrechnerwert, sondern exakt! Wie groß ist $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ? Und dann kannst du im Dreieck $\begin{eqnarray*} M_1SM \end{eqnarray*}$ Pythagoras anwenden (ich rechne gleich mit $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ , wie du das ja gerne hast):

$\begin{eqnarray*} b^2 + (R-r)^2 = (R+r)^2 \end{eqnarray*}$

So, und jetzt haben wir doch alles verraten! Bestimme aus dieser Gleichung $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ .

25.02.2008, 15:07

Richinator

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ach so ich hatte die ganze zeit nicht verstanden wie du mit pythagoras rechnen kannst ohne zu wissen wie groß die srtecke SM ist

25.02.2008, 18:17

Mathegreis

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Zitat:

Original von Leopold
... und die Höhe der Pyramide ist die Länge von $\begin{eqnarray*} SM \end{eqnarray*}$ . Die Pyramide steht also "auf dem Kopf" mit der Spitze nach unten.

Schau noch einmal in meine Zeichnung. Zunächst solltest du $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ berechnen, von mir aus mit dem Cosinus von 30° - aber bitte nicht mit einem Taschenrechnerwert, sondern exakt! Wie groß ist $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ? Und dann kannst du im Dreieck $\begin{eqnarray*} M_1SM \end{eqnarray*}$ Pythagoras anwenden (ich rechne gleich mit $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ , wie du das ja gerne hast):

$\begin{eqnarray*} b^2 + (R-r)^2 = (R+r)^2 \end{eqnarray*}$

So, und jetzt haben wir doch alles verraten! Bestimme aus dieser Gleichung $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ .

Hallo, Richinator,
hier hat er Dir doch schon alles aufgeschrieben, "verraten"!
Du sollst nun überlegen, wie lang die Strecke b ist, ggfs. ausrechnen.

25.02.2008, 20:27

Richinator

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meinte doch nur dass ich davor als er mir des erklären wollte nich verstanden hab mit pythagoras ohne länge von hellblauer seite

ausserdem die strecke b brauch ich gar nicht ich brauch das r
und die formel lautet den Wurzel von (R : cos 30°)² + (R - r von kl. Kugel)² wurzel schluss - R

danke für eure hilfe und besonders deiner Leopold Gott

Gott

25.02.2008, 22:34

Leopold

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Und ich würde sagen, sie lautet: $\begin{eqnarray*} r = \frac{1}{3} \, R \end{eqnarray*}$ .

Beachte, daß du die Gleichung nicht nach $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ aufgelöst hast, da ja $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ auf der anderen Seite auch auftritt. Die Beziehung ist nur "schein"quadratisch in $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ , in Wahrheit ist sie linear, da sich die Quadrate wegheben, wenn man die Klammern ausquadriert. Da braucht es dann auch keine Wurzeln mehr.

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