Differentialrechnung

27.08.2005, 15:52

lisaaa

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Differentialrechnung

hi ,ich brauch mal eure gute hilfe, da ich bei mathe nicht weiterkomme.
Aufgabe ist:
Welche MAßw führen zu einem minimalen Verbrauch von Glas bei der Herstellung(wandstärke vernachlässigt)?

nun haben wir radius,höhe und bodenfläche ausgerechnet.sollten aber zuhause den radius für versch. werte ändern und dann die zwei graphen vonb h und O zeichnen.das hab ich auch hingekriegt.bei radius und höhe ergibt sich eine Hyperbel und bei radius und bodenfläche eine parabel.Jetzt sollen wir die Funktionsgleichung aufstellen,aber ich weiß net wie????
ich hab nur bei r und h an : Y=1/x und bei r und O an :F(x)=x^2 gedacht,aber komme nicht weiter.KÖNnnt ihr mir bitte bitte helfen.ist echt wichtig!!!DAnkeeeeeee im voraus!!!! Hilfe

Hilfe

Hilfe

Hilfe

27.08.2005, 16:03

sqrt(2)

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Wie habt ihr Radius, Höhe und Bodenfläche ausgerechnet? Das alles ergibt nur Sinn, wenn ein Volumen fest vorgegeben ist, davon hast du aber noch gar nichts erwähnt.

27.08.2005, 16:10

lisaaa

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Differentialrechnung
ja das volumen war angegeben 250 cm^3.
radius,höhe und bodenfläche auch.nnur wir sollten zuhause das ganze nochmal mit verschiedenen radien machen damit wir nen graphen zeichnen können!!!

ist das mit der parabelformel nicht wichtig:
f(x)= ax^2 +bx+c ???

oder wie soll ich jetzt vorgehen???

27.08.2005, 16:27

sqrt(2)

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Also, die Formel für das Volumen eines Zylinders ist

$\begin{eqnarray*} V=Gh \end{eqnarray*}$

V kennst du und die Formel für G, die abhängig von r ist, solltest du auch kennen. Wenn du dann einsetzst, hast du eine Beziehung zwischen r und h, was genau das ist, was du wolltest. Wenn du das nach h umformst, hast du die Funktion für die Höhe in Abhängigkeit vom Radius.

27.08.2005, 16:38

lisaaa

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Differentialrechnung
ja das hab ich ja schon.und dann hab ich ja auch die graphen gezeichnet,aber jetzt muss ich ja für die graphen eine funktionsgleichung aufstellen, damit ich die extremstellen ausrechnen kann,um die mindestmaße rauszubekommen. verstehst du was ich meine?

ich hab ja jetzt zwei graphen eine hyperbel und eine parabel aber ich weiß nicht wie ich jetzt die f-gleichung von denen rausbekomme.
deshalb hab ich ja gefragt ob das mit der parabelgleichung
y=ax^2+bx+c geht???oder wie sonst??

27.08.2005, 16:52

sqrt(2)

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RE: Differentialrechnung

Zitat:

Original von lisaaa
ich hab ja jetzt zwei graphen eine hyperbel und eine parabel aber ich weiß nicht wie ich jetzt die f-gleichung von denen rausbekomme.

Nicht aus der Zeichnung, sondern so, wie ich es im obigen Post beschrieben habe. Gehe einfach mal so vor.

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27.08.2005, 17:01

lisaaa

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Differentialrechnung
ich versteh´dich nicht aber mach es jetzt.

V=pi x r^2 x h

und das forme ich jetzt nach h um:

h=250/ pi x r^2 = 250/pi x 2,5^2 =12,73 ´

und das hab ich schon.kannst du mir nicht nen ansatz geben.ich weiß nicht was du meinst???

27.08.2005, 17:09

sqrt(2)

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RE: Differentialrechnung

Zitat:

Original von lisaaa
h=250/ pi x r^2 = 250/pi x 2,5^2 =12,73

Wo in aller Welt hast du $\begin{eqnarray*} r=2.5 \end{eqnarray*}$ her? $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ soll variabel bleiben, damit du eine Funktion von $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ hast. Und tatsächlich, die hast du schon:

$\begin{eqnarray*} h(r)=\frac{250}{\pi r^2} \end{eqnarray*}$

Das ist auch wirklich eine Hyperbel. Wenn es dir Spaß macht, kannst du natürlich noch

$\begin{eqnarray*} x &:=& r\\y &:=& h \end{eqnarray*}$

setzen, dann hast du eine Funktion von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ .

27.08.2005, 17:15

lisaaa

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Differentialrechnung
okay ich hab ja auch mehrere werte für r eingesetzt,aber wie komme ich jetzt zu den extremstellen???
soll ich erst die nullstellen errechnen oder was soll ich tun?
ich muss ja auf die frage antworten welche mindestmaße man braucht,also brauch ich die extremstellen!?????

27.08.2005, 17:29

Nadine1987

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Na dann musst du die ersten beiden Ableitungen aufstellen, um die Extremstellen zu berechnen und die Art der/des Extrema(s) zu bestimmen.

Dazu solltest du aber vorher deine Zielfunktion umformen zu:

$\begin{eqnarray*} h(x) = \frac{250}{\pi*r^{2} } = \frac{250*r^{-2} }{\pi } \end{eqnarray*}$

Und jetzt bildest du erstmal die erste und die zweite Ableitung.

27.08.2005, 17:36

lisaaa

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Differentialrechnung
ist das richtig?:

h´(r)=250 x -2 x r^-3 /pi

250 x -2 x r ^-3 /pi =0

was mach ich jetzt mit pi? oder muss ich nicht gleich null setzen???

h´´(r)=250x 6xr^-4/pi

27.08.2005, 17:42

Nadine1987

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Oh nein warte vergiss das was oben steht, hab mir grad nochmal die Frage durchgelesn. Gesucht sind ja die MAße, die zu einem minimalen Verbrauch von Glas bei der Herstellung führen. Also brauchst du erstmal die Fomel für den Oberflächeninhalt eines Zylinders, von dem du allerdings die Deckfläche abziehen musst (vorrausgesetzt es ist ein oben offenes Glas).

Also:

$\begin{eqnarray*} A = 2\pi r^{2} + 2\pi rh - \pi r^{2} \end{eqnarray*}$

dann ersetzt du h durch $\begin{eqnarray*} \frac{250}{\pi*r^{2} } \end{eqnarray*}$ und bildest A(r), und dass musst du zweimal ableiten!!

27.08.2005, 17:54

lisaaa

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Differentialrechnung
ja es ist ein oben offenes glas.die fromel hab ich auch schon

O=2x pi x r x h +pi x r^2

also folgt:
O (r)= 2 x pi x r x 250/pi x r^2 + pi x r^2

O (r)= 2 x pi x r x250

O'(r)= 2 x pi

O''(r)= 2

also ist 2 die lösung????????????? verwirrt

verwirrt

27.08.2005, 17:59

Nadine1987

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Dein O(r) stimmt nicht ganz:

$\begin{eqnarray*} A(r) = \pi r^{2} + 2\pi r* \frac{250}{\pi r^{2} } = \pi r^{2} + \frac{500}{r} = \pi r^{2} + 500*r^{-1} \end{eqnarray*}$

und das leitest du jetzt ab und setzt die erste Ableitung gleich null und berechnest r.

27.08.2005, 18:14

lisaaa

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Differentialrechnung
also:
O'(r)= 2r+500 x -1 x r^-2
= 2r-500x r^-2

O'(r)=0

2r-500x r^-2=0

2r=500 x r^-2

r=250 x -1 ???

ich wusste nicht ob r^-2 /2 -1 ist oder nicht???

27.08.2005, 18:24

Nadine1987

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Jetzt hast du das Pi in der Ableitung vergessen, das darfst du nicht einfach wegfallen lassen.

$\begin{eqnarray*} A`(r)= 2\pi r - 500r^{-2} = 2\pi r - \frac{500}{r^{2} } \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} A``(r)=2 \pi + 1000r^{-3} \end{eqnarray*}$

27.08.2005, 18:32

lisaaa

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Differentialrechnung
ach menno.

aber ich muss das doch auch gleich 0 setzen oder?

ist das dann:
2x pi x r =500 x r^-2

2 x pi= 500 x r^-3 ???

27.08.2005, 18:36

Nadine1987

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Ja musst du, der Ansatz stimmt auch besser ist aber folgende Umformung:

$\begin{eqnarray*} 2\pi r^{3} = 500 \end{eqnarray*}$

27.08.2005, 18:53

lisaaa

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Differentialrechnung
ich krieg zuviel von mathe!!!
jetzt muss ich dann die zweite ableitung = 0 setzen ne?das ergibt 6,28 oder?ich check das nicht was hab ich jetzt für r raus?1000?

27.08.2005, 19:34

Nadine1987

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Für r müsstest du auf 4,031 kommen und das setzt du in die 2. Ableitung ein und rechnest aus, was dabei rauskommt. Da kommt was positives also größer als 0 raus, und somit hast du nachgewiesen, dass es ein Minimum ist. Um jetzt noch den minimalen Verbrauch an Glas auszurechnen setzt du r in A(r) ein.

Also 1. Ableitung = 0 dann ist r = 4,031 und dann das Ergebnis in die 2. Ableitung, um den Nachweis für das Minimum zu erbringen. Um den minimalen Oberflächeninhalt zu errechnen r = 4,031 in A(r) einsetzen.

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