Matrix zur Käferpopulation

27.08.2005, 16:00

May

Matrix zur Käferpopulation

Hallo Leute,

bin auf eine Aufgabe gestossen, zu der ich leider nicht mal einen Ansatz finde (obwohl das alles bestimmt ganz einfach und logisch ist-wie immer ^^,,,)

also:

Bei der Beobachtung eine Käferpopulation für die Anzahl der Eier E`, der Larven L`und der Käfer K`wurde folgender Zusammenhang mit den entsprechenden Zahlen E,L und K des Vorjahres festgestellt:
E`= 6K
L`= 0,5 E
K`= 0,66 L

a) Was besagen diese Gleichungen?
b) Stellen Sie eine Übergangsmatrix auf
c) Angenommen im Vorjahr gab es 600 E, 300 L und 1200 K. Wie ist die Verteilung zu diesem Jahr ?
d) Welche prozentuale Verteilung bleibt konstant?

Wär super, wenn mir das jemand (genau) erklären könnte-werde demächst vermutlich eine LK Klausur über das Thema Matrizen schreiben und will das endlich mal verstehen... (an dieser Stelle : Wer eine Inetseite mit guten Übungen kennt, möge mir dies bitte mitteilen...)

Bis dann und viel Spaß beim Rechnen,

May

27.08.2005, 18:11

babelfish

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erstmal:

=> verschoben

was hast du dir denn bereits dazu überlegt?
zumindest zu a) kannst du doch bestimmt was sagen...

27.08.2005, 19:21

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Aufgabenstellung d) erscheint mir unzureichend formuliert. Ich habe eine ganze Weile gerätselt, was gemeint sein könnte. Die einzig plausible Variante würde ich eher so als Aufgabe formulieren:

Zitat:

d) Welche prozentuale Verteilung der Stadien muss die Käferpopulation aufweisen, damit diese prozentuale Verteilung über die Jahre hinweg konstant bleibt?

Damit auch klar ist, dass hier die Aufgabensteller auf die stationäre Verteilung hinauswollen.

27.08.2005, 19:28

_May_

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Nunja,
Aufgabe a) ist mir auch schon klar ;

die aktuelle Anzahl der Eier ist 6 mal so groß wie die anzahl der käfer vom vorherigen jahr, die Anzahl der aktuellen larven ist halb so groß wie die Eier vor einem Jahr und die Anzahl der Käfer ist 2/3 mal so groß wie die Anzahl der Larven vor einem Jahr.

Nur wie soll ich das alles in eine Übergangsmatrix packen?

Naya, ich esse erstmal ne gute tafel vollmilchschokolade; das beruhigt meine nerven Augenzwinkern

27.08.2005, 19:38

sqrt(2)

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Wenn du einen Populationsvektor mit dieser Übergangsmatrix multiplizierst, soll der Populationsvektor des nächsten Jahres dabei herauskommen.

$\begin{eqnarray*} p\cdot M &=& p'\\ \begin{pmatrix}E\\L\\K\end{pmatrix} \cdot M &=& \begin{pmatrix}E'\\L'\\K'\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

27.08.2005, 20:07

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@sqrt(2)

Prinzipiell richtig, verletzt aber die Matrix-/Vektor-Multiplikationsregeln: Entweder du schreibst deine Populationsvektoren als Zeilenvektor - oder wenn du sie als Spaltenvektor belassen willst, dann muss die Transformationsmatrix $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ von links dranmultipliziert werden.

27.08.2005, 20:14

sqrt(2)

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Gleich mal wieder verplant, dass das Kommutativgesetz nicht gilt... Das kommt davon, wenn man versucht zu helfen, wo man mangels Behandlung als Schulstoff keine Übung hat.

Also:

$\begin{eqnarray*} M \cdot p &=& p'\\ M\cdot\begin{pmatrix}E\\L\\K\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}E'\\L'\\K'\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

27.08.2005, 20:48

riwe

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ich vermute, dass die 1. zeile deiner übergangsmatrix (0, 0, 6) lautet
werner

18.09.2006, 16:04

DaSashStYle

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Ich ahbe grad das selbe Problem, komme aber auch nicht ganz mit bei dem was ihr da geschribeen habt. Was genau kann cih mit der übergangsmatrix machen? was bedeutet in diesem Fall M?
Kann mir da jemand weiter helfen? muss die Aufgabe bis morgen fertig bekommen für die Shcule aber am besten heute abend ncoh eminer Freundin erklären, die sehr starke Mathe defiziete hat. Wäre super wenn mir so auf die shcnelle jemand helfen kann.

p.s. ich überlege shcon die ganze Zeit selber wie ich es lösen könnte. komme aber nicht mal zu einem Ansatz.

Meine Aufgabe besagt genau das selbe wie die hier shcon gestellte, bisauf, dass bei mir die werte für

E´=6K
L´=0,5E
K´=0,333L

sind.

Aber die werte sind ja soweit egal, ich brauhce in erster Linie einen Ansatz um die Aufgabe lösen zu können.

*weiter in Mathebüchernwells und hoff, dass mir sonst jemand hier weiter helfen kann*

18.09.2006, 16:21

sqrt(2)

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Zitat:

Original von DaSashStYle
Was genau kann cih mit der übergangsmatrix machen?

Wenn du einen Populationsvektor (in dem die aktuellen Populationsgrößen stehen) von rechts mit der Übergangsmatrix multiplizierst (bzw. die Matrix von links an den Vektor), erhältst du einen Populationsvektor mit den neuen Populationsgrößen. Das kannst du immer weiterführen.

Zitat:

Original von DaSashStYle
was bedeutet in diesem Fall M?

Das ist die Übergangsmatrix.

Zitat:

Original von DaSashStYle
p.s. ich überlege shcon die ganze Zeit selber wie ich es lösen könnte. komme aber nicht mal zu einem Ansatz.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}m_{ee} & m_{el} & m_{ek} \\ m_{le} & m_{ll} & m_{lk} \\ m_{ke} & m_{kl} & m_{kk}\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}e\\l\\k\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}em_{ee} + lm_{el} + km_{ek} \\ em_{le} + lm_{ll} + km_{lk} \\ em_{ke} + lm_{kl} + km_{kk}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Setz mal die Werte ein, die du kennst.

18.09.2006, 16:51

Matheanfänger

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Aber ich weiß doch keine genauen Werte.
*heul*
*auf dem schlauch steh*

ich kann ja höchstens für
E`= 6K
L`= 0,5 E
K`= 0,66 L
einsetzen. was mcih aber ncih weiter bringt.

Was bedeutet in diesem Fall m??

DaSashStyle bin cih, nur dass ich mich jetzt registriert habe!

18.09.2006, 17:12

Matheanfänger

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hab jetzt noch einen Lösungsansatz grfunden. wenn der richtig sein sollte, werd ich ihn hier morgen reinposten.

18.09.2006, 17:12

sqrt(2)

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Zitat:

Original von Matheanfänger
Aber ich weiß doch keine genauen Werte.

Musst du auch nicht.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}m_{ee} & m_{el} & m_{ek} \\ m_{le} & m_{ll} & m_{lk} \\ m_{ke} & m_{kl} & m_{kk}\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}e\\l\\k\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}em_{ee} + lm_{el} + km_{ek} \\ em_{le} + lm_{ll} + km_{lk} \\ em_{ke} + lm_{kl} + km_{kk}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Den Lösungsvektor kennst du ja

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}m_{ee} & m_{el} & m_{ek} \\ m_{le} & m_{ll} & m_{lk} \\ m_{ke} & m_{kl} & m_{kk}\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}e\\l\\k\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6k \\ \frac{1}{2}e \\ \frac{2}{3}l\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Damit weißt du:

$\begin{eqnarray*} em_{ee} + lm_{el} + km_{ek} &=& 0e+0l+6k \\ em_{le} + lm_{ll} + km_{lk} &=& \frac{1}{2}e + 0l + 0k \\ em_{ke} + lm_{kl} + km_{kk} &=& 0e + \frac{2}{3}l + 0k \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du einen Koeffizientenvergleich machen und damit die Komponenten der Matrix bestimmen.

Zitat:

Original von Matheanfänger
Was bedeutet in diesem Fall m??

$\begin{eqnarray*} m_{ij} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} i,j\in\{e,l,k\} \end{eqnarray*}$ ist eine Komponente der Übergangsmatrix $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ .

18.09.2006, 17:15

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Warum bringt dich das nicht weiter? Was genau kannst du denn einsetzen? Und dann gib uns einfach mal deine eingesetzte Matrix.

Bedenke: Es kann auch sein, dass ein großteil deiner Koeffizienten 0 ist.

Gruß
MI

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