umgedrehte Kurvendiskussion (Funktion 4. Grades aus 4 Gleichungen errechnen)

17.02.2008, 13:04

seaman

umgedrehte Kurvendiskussion (Funktion 4. Grades aus 4 Gleichungen errechnen)

Hallo,

habe ein kleines Problemchen.

Habe eine Aufgabe zur "umgedrehten Kurvendiskussion" (erstellen einer Funktion 4. Grades aus gegebenen Punkten). Daraus habe ich mir jetzt 4 Gleichungen ermittelt.

Hier mal die Aufgabe:

Zitat:

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 4. Grades hat in S(2/0) einen Sattelpunkt und schneidet die x-Achse im Ursprung unter einem Winkel von 135°. - Geben Sie die zugehörige Funktionsgleichung an!

a0 fällt weg, da der Graph durch den Ursprung geht und somit f(0)=0 ist.

Daraus habe ich dann folgende 4 Gleichungen ermittelt:

I.) 16*a4 + 8*a3 + 4*a2 + 2*a1 = 0
II.) 32*a4 + 12*a3 + 4*a2 + 1*a1 = 0
III.) 48*a4 + 12*a3 + 2*a2 = 0
IV.) a1 = -1

Jetzt muss ich daraus jede einzelne Variable errechnen. Nur wie?

Mein Ansatz war erstmal folgender:

Ich fange damit an, a4 auszurechen:

I - (2*IV)

A: 16*a4 + 8*a3 + 4*a2 = 2

II - IV

B: 32*a4 + 12*a3 + 4*a2 = 1

A - B

C: -16*a4 - 4*a3 =1

So und jetzt komme ich nicht mehr weiter?! Was muss ich jetzt tun? Wie kriege ich jetzt a3 weg?

Danke.

17.02.2008, 13:08

seaman

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Uups, ich sehe gerade, dass ich ich es ins falsch Forum geschrieben habe. Vielleicht kann es ein Moderator verschieben (nach Analysis)?

17.02.2008, 13:17

Zellerli

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Also die Gleichungen sehen soweit in Ordnung aus. Die Verwendung von LaTeX würde es übersichtlicher machen Augenzwinkern

Lös erstmal richtig nach $\begin{eqnarray*} a_4 \end{eqnarray*}$ auf, wie du es vor hattest ( $\begin{eqnarray*} a_4 \end{eqnarray*}$ muss alleine auf einer Seite stehen). Dann könntest du dieses $\begin{eqnarray*} a_4 \end{eqnarray*}$ in eine andere Gleichung (z.B. III) einsetzen. Und dort z.b. nach $\begin{eqnarray*} a_3 \end{eqnarray*}$ auflösen. Und wenn du dann $\begin{eqnarray*} a_3 \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} a_2 \end{eqnarray*}$ ausgedrückt hast, kannst du alle z.B. in II einsetzen und löst dann nach $\begin{eqnarray*} a_2 \end{eqnarray*}$ auf. $\begin{eqnarray*} a_2 \end{eqnarray*}$ ist dann eindeutig durch einen Zahlenwert definiert. Durch "Rückeinsetzen" in die Gleichung in der nur noch $\begin{eqnarray*} a_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_3 \end{eqnarray*}$ vorkommen, findest du $\begin{eqnarray*} a_3 \end{eqnarray*}$ und anschließend analog $\begin{eqnarray*} a_4 \end{eqnarray*}$ .

Du kannst natürlich auch, wie in deinem ersten Schritt, durch Addition und Subtraktion neue, einfachere Gleichungen bilden, aber um das Einsetzen an sich wirst du nicht rumkommen.

Achte darauf, dass du alle Gleichungen irgendwie benutzt (meistens geht es eh nicht anders).

Übrigens ist dir keiner böse, wenn du den zuständigen Mod selbst per PN anschreibst, die freuen sich auch, wenn sie nicht jeden Beitrag durchlesen müsse Augenzwinkern

17.02.2008, 16:35

seaman

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Ok, ich jetzt mal probiert, nach deinem (Zellerli) Schema zu rechnen. Komme aber bei $\begin{eqnarray*} a_2 \end{eqnarray*}$ nicht weiter.

Ich schreibe mal meine vorgehensweise auf:

IV in I und II einsetzen:

I'.) $\begin{eqnarray*} 16a_4+8a_3+4a_2-2 \end{eqnarray*}$

II'.) $\begin{eqnarray*} 32a_4+12a_3+4a_2-1 \end{eqnarray*}$

I' nach $\begin{eqnarray*} a_4 \end{eqnarray*}$ aufgelöst

A.)
$\begin{eqnarray*} a_4=-\frac{1}{2}a_3-\frac{1}{4}a_2+ \frac{1}{8} \end{eqnarray*}$

A in III eingesetzt und nach $\begin{eqnarray*} a_3 \end{eqnarray*}$ aufgelöst

B.)
$\begin{eqnarray*} a_3=-\frac{5}{6}a_2+\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Ich denke mal, dass bis hierher alles richtig ist, weswegen ich nur die Ergebnisse hingeschreiben habe.

Aber bei $\begin{eqnarray*} a_2 \end{eqnarray*}$ komme ich jetzt nicht so richtig klar:

Bin folgendermaßen vorgegangen:

$\begin{eqnarray*} (2*I')-II' \end{eqnarray*}$

C.)

$\begin{eqnarray*} 6a_3+4a_2-3=0 \end{eqnarray*}$

C durch 6 geteilt

C'.)

$\begin{eqnarray*} a_3+\frac{2}{3}a_2- \frac{1}{2}=0 \end{eqnarray*}$

B in C' eingesetzt

$\begin{eqnarray*} -\frac{5}{6}a_2+ \frac{1}{2}+\frac{2}{3}a_2-\frac{1}{2}=0 \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt jedoch nach $\begin{eqnarray*} a_2 \end{eqnarray*}$ auflösen will, bekomme ich 0 raus?!

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{6}a_2=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_2=0 \end{eqnarray*}$

Ist $\begin{eqnarray*} a_2 \end{eqnarray*}$ wirklich 0, oder habe ich mich irgendwo vertan?

Was ich im ersten Posting nicht erwähnt hatte, dass im Buch mit Bleistift schon eine Lösung steht (warscheinlich vom Vorbesitzer des Buches).

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{3} x^{4}- \frac{3}{4} x^{3}+ \frac{3}{2} x^{2}-x \end{eqnarray*}$

Ist die richtig? Wenn ja, dann muss ich irgendetwas falsch gemacht haben, oder?

Danke.

17.02.2008, 18:57

seaman

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Ich weiß nicht, ob es erwünscht ist, aber ich werde das Thema mal noch oben schieben, bevor es auf der 2. Seite landet.

Könnte sich bitte nochmal jemand meine Berechnung anschauen und mir sagen, wo mein Fehler liegt.

Danke.

18.02.2008, 18:10

Zellerli

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Ich sehe den (hoffentlich einzigen) Fehler bei

Zitat:

Bin folgendermaßen vorgegangen:

$\begin{eqnarray*} (2*I')-II' \end{eqnarray*}$

C.)

$\begin{eqnarray*} 6a_3+4a_2-3=0 \end{eqnarray*}$

Schau die nur die $\begin{eqnarray*} a_3 \end{eqnarray*}$ an:

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot 8a_3 - 12a_3 = 4a_3 \neq 6a_3 \end{eqnarray*}$

Damit würdest du dann nicht durch 6, sondern druch 4 teilen und hättest nicht $\begin{eqnarray*} \frac{3}{6}=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} \frac{3}{4}\neq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und es würde soweit ich das überflogen habe, zumindest nicht 0 rauskommen.

18.02.2008, 20:30

seaman

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Zitat:

Original von Zellerli
Ich sehe den (hoffentlich einzigen) Fehler bei

Zitat:

Bin folgendermaßen vorgegangen:

$\begin{eqnarray*} (2*I')-II' \end{eqnarray*}$

C.)

$\begin{eqnarray*} 6a_3+4a_2-3=0 \end{eqnarray*}$

Danke, genau da lag mein Fehler!

Jetzt habe ich die oben bereits erwähnte Funktion raus (2 Postings über diesem). Auch mit MatheAss bekomme ich jetzt die, in der Aufgabenstellung, gegebenen Werte heraus.

18.02.2008, 20:40

Zellerli

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Na also

Super!

Diese Einsetzermethode ist die Regel bei der Lösung solcher Gleichungssysteme. Erleichtern kannst du es dir durch Vereinfachen der Gleichungen durch Addition und Subtraktion, was du ja offenbar schon gut beherrschst.

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