Divergente reihe aufteilen

17.02.2008, 16:51

speedyschmidt

Divergente reihe aufteilen

Hallo, ich sollte herausfinden für welche $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R=\sum_{n=1}^{\infty}~\frac{sin^2(nz)}{n} \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Ich hab das dann als $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{1-cos(2nz)}{2n} \end{eqnarray*}$ geschrieben, aufgeteilt und gezeigt, dass der vordere Summand divergiert und der hintere konvergiert für $\begin{eqnarray*} z\neq k\pi , k\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ und somit R divergiert.

Nun meint ein Korrekteur wörtlich zu mir:

"Es ist immer mathematisch unsauber eine divergente Reihe aufzuteilen und oftmals auch falsch"

Meine Frage an euch: Wann ist das falsch(Beispiel)? und: Ist mein Weg jetzt völlig falsch oder muss ich einfach irgendwo anders meine Argumentation überdenken?

Dankeschön, Euer Speedy!

17.02.2008, 17:06

therisen

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Schau dir die Regel für Folgen mal genau an: Wenn $\begin{eqnarray*} a_n\to a,~ b_n\to b \end{eqnarray*}$ , dann $\begin{eqnarray*} a_n+b_n\to a+b \end{eqnarray*}$ .

Die beiden Folgen $\begin{eqnarray*} a_n:=(-1)^n, ~b_n:=(-1)^{n+1} \end{eqnarray*}$ sind divergent (nicht konvergent), aber $\begin{eqnarray*} a_n+b_n=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ .

17.02.2008, 17:12

WebFritzi

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@therisen: Na und?

17.02.2008, 19:07

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von speedyschmidt
Meine Frage an euch: Wann ist das falsch(Beispiel)? und: Ist mein Weg jetzt völlig falsch oder muss ich einfach irgendwo anders meine Argumentation überdenken?

An sich ist deine Aussage richtig, nur hast du sie halt nicht begründet bzw. die Argumentation nicht zu Ende geführt. Insofern musst du sie nicht vollkommen überdenken, sondern ein wenig erweitern.
Zunächst zu der Aussage des Korrektors. Diese ist tatsächlich durchaus sinnvoll. Mathematisch unsauber ist es allemal. Was aber tatsächlich noch hinzukommt: Was genau soll denn die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{1-cos(2nz)}{2n}=\sum_{n=1}^{\infty}~\frac{1}{2n}-\sum_{n=1}^{\infty}~\frac{cos(2nz)}{2n} \end{eqnarray*}$

bedeuten? Eine Gleichung reeller Zahlen ist es jedenfalls nicht, denn weder auf der rechten noch auf der linken Seite steht eine solche. Man könnte mit viel gutmütigem Willen herauslesen, dass dies eine Gleichung über die Partialsummen ist. Genau über diese läuft die korrekte Argumentation übrigens auch. Allerdings würde ich mich eher auf die Seite des Korrektors stellen und eine fundierte Begründung verlangen, eben auf Grundlage der Partialsummen.

Und das geht so:

Sei $\begin{eqnarray*} z\neq k\pi,k\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Für jedes $\begin{eqnarray*} m\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^m~\frac{1-cos(2nz)}{2n}=\sum_{n=1}^m~\frac{1}{2n}-\sum_{n=1}^m~\frac{cos(2nz)}{2n} \end{eqnarray*}$ ,

was man umschreiben kann zu

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^m~\frac{1-cos(2nz)}{2n}+\sum_{n=1}^m~\frac{cos(2nz)}{2n}=\sum_{n=1}^m~\frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$ .

Angenommen, die gegebene Reihe würde konvergieren. Da auch die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^m~\frac{cos(2nz)}{2n} \end{eqnarray*}$ konvergiert, müsste dann auch die harmonische Reihe auf der rechten Seite konvergieren, Widerspruch! Und nun sieht man ein, dass die Annahme, dass die gegebene Reihe konvergiert, falsch gewesen sein muss. Also divergiert sie.

Du siehst, deine Idee ist die richtige und in deiner Gleichung ist eben auch die Argumentation versteckt, aber mehr auch nicht. 'Entlarven' hättest du sie dann schon noch müssen. Augenzwinkern

Achja und zu deiner Frage, wann das "Auseinanderziehen" einer Reihe falsch ist: Vielleicht sollte man die Aussage des Korrektors diesbezüglich besser so formulieren, dass eben das Auseinanderziehen immer dann keinen Sinn macht, wenn mindestens eine der beiden Reihen divergiert, und zwar eben deshalb weil die Gleichung keinen Sinn ergibt (s.o.). Ob man es als falsch bezeichnen sollte, eine Reihe in eine divergente und eine konvergente Reihe aufzuspalten, ist fraglich. Wie gesagt, ist die Idee die richtige, aber ohne weitergehende Argumentation könnte man tatsächlich dazu neigen, eine solche Aussage zu treffen.
Was der Korrektor vielleicht eher im Sinn hat, ist der Fall, dass beide Reihen divergieren. Eine Gleichung der Form

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~(1-1)=\sum_{n=1}^{\infty}~1-\sum_{n=1}^{\infty}~1 \end{eqnarray*}$

ist nämlich tatsächlich ziemlich falsch, zumal einige Leute auf der rechten Seite dann noch

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~1-\sum_{n=1}^{\infty}~1=\infty-\infty=0 \end{eqnarray*}$

weiter rechnen. Es ist zwar schön, dass das richtige rauskommt, aber die Argumentation ist trotzdem höchst unkorrekt, man erhielte ja so auch:

$\begin{eqnarray*} 1=1+\sum_{n=1}^{\infty}~(1-1)=1+\sum_{n=1}^{\infty}~1-\sum_{n=1}^{\infty}~1=\sum_{n=0}^{\infty}~1-\sum_{n=1}^{\infty}~1=\infty-\infty=0 \end{eqnarray*}$ .

Natürlich ist das ein ziemlich triviales Beispiel, aber ich wollte auch nur verdeutlichen, was der Korrektor damit gemeint haben könnte. Und sobald man dann doch mit etwas komplizierteren Reihen arbeiten, muss man halt ab und zu tatsächlich höllisch aufpassen, wann man Reihen auseinanderziehen darf und wann nicht.
Ich hoffe ich konnte dir ein wenig helfen. Falls du noch Fragen dazu hast, frag ruhig.

17.02.2008, 19:31

speedyschmidt

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Ok, dankeschön, ja das mit dem Widerspruch gefällt mir, aber dein Beispiel ist mehr als dürftig, weils von der gegebenen Reihe inhaltlich schon gewaltig abweicht :-)

17.02.2008, 19:44

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von speedyschmidt
aber dein Beispiel ist mehr als dürftig, weils von der gegebenen Reihe inhaltlich schon gewaltig abweicht :-)

So war das Beispiel nicht gemeint. Ich wollte auch kein Beispiel bringen, was nahe an die gegebene Reihe heranreicht. Und zwar gerade deswegen nicht, weil dies ja im Prinzip gar nicht geht. Jede Reihe, die man in eine divergente und eine konvergente Reihe so aufspalten kann, ist divergent. Deswegen kann ich gar kein solches Beispiel bringen, wo diese Aufspaltung in diesem Sinne falsch ist.
Ich wollte aber nur verdeutlichen, dass man im allgemeinen Fall vorsichtiger sein muss, und wollte gleichzeitig zeigen, dass dies vielleicht auch einfach das war, was der Korrektor damit meinte. Insofern solltest du mein Beispiel nicht missinterpretieren. Augenzwinkern

18.02.2008, 18:51

Leopold

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~1-\sum_{n=1}^{\infty}~1=\infty-\infty=0 \end{eqnarray*}$

Dabei weiß doch ein jedes Kind, daß da ein Halbes herauskommt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} z^n = \frac{1}{1-z} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z=-1: \ \ \ \ 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 \pm \ldots = \frac{1}{1-(-1)} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

quod erat demonstrandum

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