Berechnung Integral

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17.02.2008, 17:25	Angantyr	Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnung Integral Hey, Ich brauche nochmals etwas Hilfe, ich komme nicht weiter... Ich soll folgendes Integral berechnen: $\begin{eqnarray} \int_{0}^{\pi} log~sin~x~dx \end{eqnarray}$ Nun, ich nehme mal an, dass die zu integrierende Funktion keine explizit angebbare Stammfunktion bestitzt, was die Rechnerei erheblich erschwert. Man kann das Problem vielleicht noch etwas vereinfachen: $\begin{eqnarray} \int_{0}^{\pi} log~sin~x~dx=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} log~sin~x~dx \end{eqnarray}$ Was soll ich tun? Partielle Integration und Substitution bringen mich nicht weiter, Reihenentwicklung für Sinus würde ich als sinnlos bezeichnen, da der Logarithmus einer Summe nicht auseinandergenommen werden kann, eine Taylorentwicklung für die logarithmische Funktion führt mich auch nicht zur Lösung. Sehe ich das richtig, dass ich mit Umformungen (Integrationsregeln, Reihen, irgendwas) irgendwann an einen Punkt gelange, wo ich gewisse Terme erhalte, die ich mit früher bewiesenen Sätzen als log(2) oder Pi oder so enttarnen kann? Oder wie soll ich das Problem anpacken? Handelt es sich dabei um reine Trick- und Knacknussrechnerei? Ich wäre für jede Anregung dankbar.
17.02.2008, 19:48	Tomtomtomtom	Auf diesen Beitrag antworten »
MAPLE meint es kommt $\begin{eqnarray} -2i\pi^2-\pi ln(2) \end{eqnarray}$ raus, von daher wird wohl irgendwie Funktionentheorie im Spiel sein.
17.02.2008, 19:58	Angantyr	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm.. Bronstein-Semendjajew meint, es sei $\begin{eqnarray} -\pi~ log(2) \end{eqnarray}$ ? Aber das Resultat ist nebensächlich. Kann mir jemand sagen, WAS ich tun soll? Funktionentheorie wird es wohl nicht sein, ich besuche erst Analysis II.
17.02.2008, 20:22	Tomtomtomtom	Auf diesen Beitrag antworten »
Welchen Logarithmus meinst du denn mit log? Den zur Basis e oder den zur Basis 10?
17.02.2008, 20:27	Angantyr	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich meine den natürlichen Logarithmus, aber das ist eigentlich nebensächlich, es ändert sich ja nur ein Vorfaktor.
17.02.2008, 21:06	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit dem Potenzreihenansatz vom Logarithmus häng ich dann an $\begin{eqnarray} \int\limits_0^{\pi}\sin^i(x)\dd x \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} i\in\mathbb N \end{eqnarray}$ , aber das war nur so eine Idee...
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17.02.2008, 21:44	Tomtomtomtom	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, ka was MAPLE da rechnet, es kann ja gar nix komplexes rauskommen, das hätte mir auch auffallen müssen.
17.02.2008, 21:47	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Mathematica bestätigt $\begin{eqnarray} -\pi\cdot\log(2) \end{eqnarray}$
17.02.2008, 22:15	Silencer	Auf diesen Beitrag antworten »
hm. Das ist der natuerliche Logarithmus? Es gilt: $\begin{eqnarray} sin(x) = \frac{1}{2i} * (e^{ix} - e^{-ix}) \end{eqnarray}$ Weiterhin gilt: $\begin{eqnarray} log_a(x-y) = log_a(x) * log_a(1-\frac{x}{y}) \end{eqnarray}$ (entnommen aus der wikipedia) Damit krieg ich dann auf dem Zettel alle Logarithmen bis auf ein $\begin{eqnarray} log(1-e^{2ix}) \end{eqnarray}$ weg. (Insgesamt ist der Term aus dem Integral dann: $\begin{eqnarray} log(\frac{1}{2i}) + ix + log(1-e^{2ix}) \end{eqnarray*}$ ) Ich weiss nur grade nicht, inwiefern uns das weiterbringt. Dummerweise ist der Exponent da drin etwas ekeliges, wo ich zumindest nicht spontan was tolles aus dem Hut zaubern kann.
17.02.2008, 22:25	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe zwar wenig Ahnung von dem Thema Fourierreihen, aber wenn ich mich nicht täusche mit den wenigen Aussagen, die ich mir herausgepickt habe, dann könnte es so gehen: Man kann zeigen, dass die Fourierreihe der Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=\begin{cases} -\ln\left(2\sin\frac{x}{2}\right) & , x\in (0,2\pi) \\ 0 & , x=0 \\ 0 & , x=2\pi\end{cases} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x\in (0,2\pi) \end{eqnarray}$ gegen $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ konvergiert und dass sie die Gestalt $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{1}{2}a_0+\sum_{n=1}^{\infty}~\frac{\cos nx}{n} \end{eqnarray}$ mit noch unbekanntem $\begin{eqnarray} a_0 \end{eqnarray}$ hat. Man weiß aber, dass $\begin{eqnarray} a_0=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}~\left[-\ln\left(2\sin\frac{x}{2}\right)\right]~\mathrm dx \end{eqnarray}$ gelten muss (hier braucht es natürlich einige Vorüberlegungen und handfeste Begründungen). Setzt man in der fast fertigen Fourierentwicklung von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ den Wert $\begin{eqnarray} x=\pi \end{eqnarray}$ ein, so erhält man $\begin{eqnarray} a_0=0 \end{eqnarray}$ , bzw. ist einem bereits (durch eine andere Herleitung) bekannt, dass $\begin{eqnarray} f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}~\frac{\cos nx}{n} \end{eqnarray}$ gilt (siehe z.B. hier), so kann man auch so $\begin{eqnarray} a_0=0 \end{eqnarray}$ folgern. Und nun ist es bis zu deinem Integral nicht mehr weit. Natürlich ist das Ganze nur möglich, wenn du schon Fourierreihen kennst und dir die Sachen, die ich jetz ausgeführt habe, auch schon bekannt sind.
18.02.2008, 19:12	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Das geht elementar, aber recht trickreich. Zunächst substituiert man $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} 2x \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \int_0^{\pi} \ln (\sin x)~\mathrm{d}x = 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln \left( \sin (2x) \right)~\mathrm{d}x \end{eqnarray}$ Jetzt die bekannte Sinusformel für das doppelte Argument verwenden, mit einem Logarithmusgesetz daraus drei Integrale machen, in dem einen Integral $\begin{eqnarray} \cos x = \sin \left( x + \frac{\pi}{2} \right) \end{eqnarray}$ ersetzen und das Argument $\begin{eqnarray} x + \frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ wieder substituieren. So steht's im Remmert, Funktionentheorie II.

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