Schnittpunkt zweier orthogonaler Vektoren

17.02.2008, 18:06

brausepulver

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Schnittpunkt zweier orthogonaler Vektoren

Hallo zusammen,

ich habe die Schule schon ein paar Jährchen hinter mir gelassen und bisher nicht mehr viel mit Vektorrechnung zu tun gehabt. Ich hoffe, ich darf hier trotzdem eine Frage stellen.

Ich habe eine Kugel mit Mittelpunkt M und Radius r sowie einen Punkt Q irgendwo ausserhalb der Kugel. Gesucht sind nun alle Punkte P auf der Kugeloberfläche, bei denen die Ortsvektoren MQ und QP sich orthogonal schneiden.

Meine Problemstellung lässt sich auf eine Ebene reduzieren, so dass ich es nur noch mit einem Kreis und zwei infrage kommenden Punkten P1 und P2 zu tun habe.

Gegebene Größen sind also M, r und P, gesucht sind P1/P2. Ich weiß noch, dass das Skalarprodukt zweier orthogonaler Vektoren 0 ist. Ich weiß auch noch, wie ich Geradengleichungen als Punkt-Richtungsform und Zweipunktform aufstelle. Und ich glaube, dass hier die richtigen Gleichungen und geschicktes Einsetzen zur Lösung führen würde - aber an der Stelle hapert es gerade.

Wäre nett wenn mir da jemand unter die Arme greifen könnte.

Danke und LG
Brausepulver

17.02.2008, 18:22

Dramex

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Also du hast ja 2 Punkte gegeben. Mache mal folgendes:

Erstelle eine Gerade aus MQ. Dies ist eine Gerade ohne fehlenden Parameter.
Erstelle als nächstes die Gerade QP, aber hier wäre ja das folgende Problem, dass uns der Punkt P fehlt. Erstelle hierbei einfach eine Gerade mit einem unbekannten PArameter.

Nun machst du das Skalarprodukt aus der Geraden MQ und der Geraden QP mit einem unbekannten Parameter. Nun hast du eine eine vollständige Gerade QP. Als nächstes berechnest du nur noch die Durchstoßpunkte der Geraden QP auf der Kugeloberfläche und die aufgabe ist gelöst. smile

smile

____

MFG Dramex

17.02.2008, 19:16

brausepulver

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Hi Dramex,

danke für deinen Tipp. Leider ist das hier genau der Part, den ich zwar nachvollziehen kann, aber methodisch nicht mehr auf die Reihe kriege:

Zitat:

Original von Dramex
Nun machst du das Skalarprodukt aus der Geraden MQ und der Geraden QP mit einem unbekannten Parameter. Nun hast du eine eine vollständige Gerade QP.

Ich habe also jetzt zwei Geraden
g1: r(s) = r(M) + s*(r(Q)-r(M))
g2: r(t) = r(Q) + t*(r(P)-r(Q))

Was bedeutet jetzt, daraus das "Skalarprodukt machen"? Kannst du das noch etwas detaillieren?

Danke und LG
Brausepulver

17.02.2008, 19:21

mYthos

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@Dramex

Deine Erklärung finde ich ziemlich diffus und eigentlich unverständlich.

@brausepulver

Überdenke deine Angaben nochmals. So wie sie jetzt zu lesen sind, hat die Aufgabe keine Lösung, denn MQ und QP stehen nie aufeinander senkrecht, wenn sich Q ausserhalb der Kugel befindet.

mY+

17.02.2008, 19:46

Brausepulver

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Ich habe mal eine Grafik angefertigt.

http://img143.imageshack.us/img143/526/problemsx0.th.png

Der von P1M und P1Q bzw. P2M und P2Q eingeschlossene Winkel beträgt jeweils 90°.

Danke und LG
Brausepulver

17.02.2008, 19:51

brausepulver

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RE: Schnittpunkt zweier orthogonaler Vektoren
Und jetzt merke ich, dass ich mich vertippt habe. Ich bitte um Entschuldigung!

Zitat:

Original von brausepulver
Ich habe eine Kugel mit Mittelpunkt M und Radius r sowie einen Punkt Q irgendwo ausserhalb der Kugel. Gesucht sind nun alle Punkte P auf der Kugeloberfläche, bei denen die Ortsvektoren MQ und QP sich orthogonal schneiden.

Gemeint war natürlich MP und QP!

Sorry!
Brausepulver

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17.02.2008, 20:59

mYthos

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Dann gibt es aber nicht nur 2 Punkte, sondern alle Punkte, die in einer Ebene senkrecht zu MQ und auf der Kugel liegen. Dieser Ort ist ein Kleinkreis auf der Kugel. Die Lage der Ebene wird durch die Strecken PQ, MQ und r bestimmt. Der Abstand d der Ebene von M ergibt sich aus der Beziehung

$\begin{eqnarray*} r^2 = \overline{MQ} \cdot d \end{eqnarray*}$

Warum das so ist, solltest du in deiner Skizze mit Hilfe von Sätzen des rechtwinkeligen Dreieckes selbst klären können. Übrigens heisst die Ebene, in welcher der Kreis liegt, Polarebene des Punktes Q bezüglich der Kugel.

mY+

18.02.2008, 00:42

brausepulver

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Mir reicht die Lösung in der Ebene wie im Bild gesehen. Sorry, dass ich das oben missverständlich formuliert habe. Ich würde das Problem gerne über Vektorrechnung lösen und bin eigentlich davon überzeugt, dass mein ursprünglicher Ansatz funktionieren muss, deshalb habe ich den nochmal weitergedacht und bin zumindest was zwei benötigte Größen angeht weitergekommen, s.u.:

Ich habe mir nochmal die Geradengleichungen vorgenommen (und den Formeleditor ausprobiert). Zum einen habe ich die Geradengleichung für die Gerade vom Mittelpunkt M zum gesuchten Punkt P:
$\begin{eqnarray*} g_1: \vec{r}(s)=\vec{r}(M) + s * (\vec{r}(P) - \vec{r}(M)) \end{eqnarray*}$
Außerdem habe ich die Gerade vom bekannten Punkt Q ausserhalb des Kreises zum gesuchten Punkt P:
$\begin{eqnarray*} g_2: \vec{r}(t)=\vec{r}(Q) + t * (\vec{r}(P) - \vec{r}(Q)) \end{eqnarray*}$

Ich weiß bereits, dass in $\begin{eqnarray*} g_1 \end{eqnarray*}$ s dem Radius des Kreises entsprechen muss, also $\begin{eqnarray*} s=r \end{eqnarray*}$ . Da ich den Radius kenne und außerdem den Abstand zwischen M und Q berechnen kann, habe ich zwei von drei Seitenlängen des rechtwinkligen Dreiecks (M, P, Q) und kann die dritte über den Satz des Pythagoras bestimmen und erhalte damit auch den benötigten Wert für t:

$\begin{eqnarray*} l=\mid \overline{MQ} \mid \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} t=\sqrt{ l^{2} - r^{2} } \end{eqnarray*}$

Damit habe ich in beiden Geraden nur noch eine Unbekannte, nämlich $\begin{eqnarray*} \vec{r}(P) \end{eqnarray*}$ .

Ist das soweit korrekt?

Da die Geraden senkrecht sein sollen, muss also gelten:

$\begin{eqnarray*} <g_1,g_2>=0 \end{eqnarray*}$

Und an dieser Stelle ist mir methodisch nicht klar, wie's weitergeht. Wenn ich das jetzt "einfach" ausmultipliziere, habe ich eine Gleichung mit drei Unbekannten (den drei Komponenten des gesuchten Vektors). Hier würde ich mich nochmal über konkrete Tipps freuen.

Danke und LG
Brausepulver

19.02.2008, 19:49

brausepulver

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Ich bin immer noch an Tipps interessiert. Bin ich mit meinem Ansatz so auf dem Holzweg?

Danke und LG
Brausepulver

22.02.2008, 19:42

brausepulver

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Letzter verzweifelter Versuch... Anyone?

LG
Brausepulver

22.02.2008, 20:12

riwe

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na wir wollen doch nicht, dass du dich vor lauter verzwiflung in den tod stürzt oder gar dem trunke ergibst unglücklich

unglücklich

aber wenn schon vektorrechnung dann ordentlich:

sei ein gesuchter berührpunkt $\begin{eqnarray*} B(b_x/b_y) \end{eqnarray*}$ und der mittelpunkt des kreises $\begin{eqnarray*} M(m/n) \end{eqnarray*}$ mit radius $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} P(p_x/p_y) \end{eqnarray*}$ , dann hast du

1) da tangenten- und radiusvektor aufeinander senkrecht stehen

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{BM}\cdot\overrightarrow{BP}=0 \end{eqnarray*}$

2) da B auf dem kreis liegt

$\begin{eqnarray*} |\overrightarrow{BM}|=r \end{eqnarray*}$

das sind 2 gleichungen für die koordinaten des berührpunktes, und da es sich um eine quadratische gleichung handelt, bekommt man netterweise beide pünktchen unglücklich

unglücklich

22.02.2008, 22:31

brausepulver

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Hallo Werner,

danke, dass du dich erbarmt hast. Du schreibst, "...dann ordentlich" - war denn etwas nicht ordentlich an meinem Versuch? Ich bin dankbar für die Hilfe, würde aber gerne auch wissen, warum mein Weg offenbar nicht der richtige ist. (Okay, vielleicht sind das Perlen vor die Säue - noch wichtiger sind mir ein paar Tipps, siehe unten.)

Deine zwei Gleichungen sind nachvollziehbar - Skalarprodukt, weil senkrecht aufeinander; Länge von Mittelpunkt zu Berührpunkt entspricht logischerweise dem Radius. Das habe ich ja auch schon geschrieben, und du hast es jetzt nochmal ordentlich formuliert.

Zitat:

Original von riwe
das sind 2 gleichungen für die koordinaten des berührpunktes, und da es sich um eine quadratische gleichung handelt, bekommt man netterweise beide pünktchen unglücklich

unglücklich

Leider ist der Part dann wieder derjenige, an dem ich nicht weiterkomme.

Ich kann das Skalarprodukt (Gleichung 1) ausmultiplizieren, dann komme ich auf etwas wie:

$\begin{eqnarray*} (m_x-b_x)(p_x-b_x)+(m_y-b_y)(p_y-b_y)+(m_z-b_z)(p_z-b_z)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow m_xp_x-m_xb_x-b_xp_x+b_x^2+... = 0 \end{eqnarray*}$
(den Teil für die y- und z-Komponente habe ich mal weggelassen, um den Monitor nicht zu sprengen)

Okay, da, am ersten Teil, erkenne ich eine quadratische Gleichung. Nun geht das aber ja noch weiter, ich habe nicht nur eine quadratische Gleichung, sondern drei, in einem Term. Wie gehe ich damit um?

Gleichung 2 kann man auch noch anders schreiben.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(m_x-b_x)^2+(m_y-b_y)^2+(m_z-b_z)^2}=r \end{eqnarray*}$

Hier sehe ich leider weder, wie mir das alleine etwas bringen könnte, noch, wie ich es mit Gleichung 1 kombinieren könnte.

Ich traue mich kaum noch, nachzufragen, weil ich langsam das Gefühl habe, ich bin einfach zu dumm. Ich hab aber auch mal studiert, wenn auch keine Mathematik, ganz so schlimm kann es also nicht sein :-) Ich hoffe, noch ein paar Tipps zu bekommen, bevor ich vor Scham im Boden versinke...

LG
Brausepulver

22.02.2008, 22:45

brausepulver

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Wenn ich so drüber nachdenke...

Ich habe drei quadratische Gleichungen
$\begin{eqnarray*} m_xp_x-m_xb_x-b_xp_x+b_x^2 = A \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} m_yp_y-m_yb_y-b_yp_y+b_y^2 = B \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} m_zp_z-m_zb_z-b_zp_z+b_z^2 = C \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} A + B + C = 0 \end{eqnarray*}$

Reicht es, jeweils b für die drei Gleichungen zu berechnen, und das wars?!

LG
Brausepulver

22.02.2008, 22:59

riwe

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zunächst mit ordentlich meinte ich nur, man erspare sich das aufstellen von geradengleichungen, das skalarprodukt ist genug der mühe.

und du hast nur 2 gleichungen, aber das genügt

um mir die indizes zu ersparen B(a/b), M(m/n) und P(p/q).
dann hast du aus dem skalarprodukt

(1) $\begin{eqnarray*} a²-a(m+p)+mp+b²-b(n+q)+nq=0 \end{eqnarray*}$
und aus dem abstand MB:
(2) $\begin{eqnarray*} a²-2am+m²+b²-2bn+n²=r² \end{eqnarray*}$

jetzt subtrahierst du die beiden gleichungen und drückst b durch a aus:

$\begin{eqnarray*} b=X-aY \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} X=\frac{m²+n²-r²-mp-nq}{n-q} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y=\frac{m-p}{n-q} \end{eqnarray*}$

das setzt du jetzt für b in (1) ein und hast eine quadratische gleichung in a.

$\begin{eqnarray*} a²(1+Y²)-a(m+p+2XY-Y(n+q))+mp+X²-X(n+q)+nq=0 \end{eqnarray*}$

die allgemein zu lösen, das erspare ich mir aber unglücklich

unglücklich

23.02.2008, 01:31

brausepulver

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Danke, Werner! Ich frage mich: was ist, wenn $\begin{eqnarray*} n = q \end{eqnarray*}$ ? Dann teile ich bei $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ durch 0.

Ich habe deine Lösung ausserdem mal mit einfachen Zahlen durchgerechnet, mehr für mich, als für's Forum, aber weil ich gleichzeitig noch LaTeX lernen will (ist ja echt nützlich!) schreibe ich es hier trotzdem mal auf.

Sei der Mittelpunkt bei (m=1,n=1), der Radius 2 und P bei (p=6,q=3). Wenn man sich das aufmalt, sieht man, dass einer der gesuchten Punkte bei (a=1,b=3) sein muss.

(1) $\begin{eqnarray*} X=\frac{1^2+1^2-2^2-1*6-1*3}{1-3}=\frac{11}{2} \end{eqnarray*}$
(2) $\begin{eqnarray*} Y=\frac{1-6}{1-3}=\frac{5}{2} \end{eqnarray*}$

Die quadratische Gleichung muss ich noch normalisieren, also durch $\begin{eqnarray*} 1+Y^2 \end{eqnarray*}$ teilen.

(3.1) $\begin{eqnarray*} a^2 - a\frac{m+p+2XY-Y(n+q)}{1+Y^2}+\frac{mp+X^2-X(n+q)+nq}{1+Y^2}=0 \end{eqnarray*}$

(3.2) $\begin{eqnarray*} \Rightarrow a^2 - a\frac{1+6+2\frac{11}{2}\frac{5}{2}-\frac{5}{2}(1+3)}{1+(\frac{5}{2})^2} + \frac{1*6+(\frac{11}{2})^2-\frac{11}{2}(1+3)+1+3}{1+(\frac{5}{2})^2}=0 \end{eqnarray*}$

(3.3) $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow a^2 - a\frac{-3+\frac{55}{2}}{\frac{29}{4}} + \frac{10+\frac{121}{4}-\frac{44}{2}}{\frac{29}{4}}=0 \end{eqnarray*}$

(3.4) $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow a^2 - a\frac{\frac{49}{2}}{\frac{29}{4}} + \frac{\frac{73}{4}}{\frac{29}{4}}=0 \end{eqnarray*}$

(3.5) $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow a^2 - a\frac{196}{58} + \frac{146}{58}=0 \end{eqnarray*}$

Mithilfe der p-q-Formel ergeben sich daraus folgende Lösungen:

(4.1) $\begin{eqnarray*} p = -\frac{196}{58} \end{eqnarray*}$

(4.2) $\begin{eqnarray*} q = \frac{146}{58} \end{eqnarray*}$

(4.3) $\begin{eqnarray*} a_1 = \frac{196}{116}+\sqrt{(\frac{196}{116})^2-\frac{146}{58}} \approx 2,271 \end{eqnarray*}$

(4.3) $\begin{eqnarray*} a_2 = \frac{196}{116}-\sqrt{(\frac{196}{116})^2-\frac{146}{58}} \approx 1,11 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_2 \end{eqnarray*}$ kommt der vermuteten 1 noch am nächsten, aber Rundungsfehler schließe ich bei Unterschieden in der ersten Nachkommastelle mal aus. Trotzdem mal noch der Check, ob $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ passt:

$\begin{eqnarray*} b = \frac{11}{2} - 1,11\frac{5}{2} = 2,725 \end{eqnarray*}$

Wenn ich allerdings a=1 einsetze, kriege ich auch b=3 raus, daher nehme ich an, ich habe mich irgendwo ab 3 abwärts verrechnet...

Ich versuche es einfach morgen nochmal mit offenen Augen...

LG
Brausepulver

23.02.2008, 02:16

riwe

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vor dem schlafen gehen noch schnell ein bilderl dazu.

und ich würde dieses problem eh nicht so wie oben lösen,
sondern entweder über die polare (das ist die rote gerade) oder über den thaleskreis. wobei die polare genau die schnittgerade von K und thaleskreis ist.
und diese gerade p kann man einfach durch aufspalten erhalten

$\begin{eqnarray*} K : (x-m)²+(y-n)²=r² \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p : (x-m)(x_p-m)+(y-n)(y_p-n)=r² \end{eqnarray*}$

und nun schneidest du einfach p und K und bekommst damit die beiden berührpunkte.

23.02.2008, 10:48

riwe

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Zitat:

Original von brausepulver

(3.2) $\begin{eqnarray*} \Rightarrow a^2 - a\frac{1+6+2\frac{11}{2}\frac{5}{2}-\frac{5}{2}(1+3)}{1+(\frac{5}{2})^2} + \frac{1*6+(\frac{11}{2})^2-\frac{11}{2}(1+3)+1+3}{1+(\frac{5}{2})^2}=0 \end{eqnarray*}$

Wenn ich allerdings a=1 einsetze, kriege ich auch b=3 raus, daher nehme ich an, ich habe mich irgendwo ab 3 abwärts verrechnet...

Ich versuche es einfach morgen nochmal mit offenen Augen...

LG
Brausepulver

ja hast du, ich habe es dir rot angemalt,
wie es sich gehört unglücklich

unglücklich

die letzten 3 zeichen im nenner:

falsch:

1 + 3

richtig

1 * 3

kleine ursachen..... unglücklich

unglücklich

24.02.2008, 14:58

brausepulver

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Die Lösung mit dem Kreis ist so einfach wie genial! Tausend Dank, Werner!

LG
Brausepulver

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