Funktion mit Betrag

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28.08.2005, 09:26	Mathe00	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktion mit Betrag f(x)=\|x²-4\| für x²-4 gilt: $\begin{eqnarray} x\geq 2 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} x\leq -2 \end{eqnarray}$ für -x²+4 gilt -2<x<-2 ich hab jetzt die extrema bestimmt und das raus. f(x)=x²-4 f'(x)= 2x 0=2x 0=x f''(x)=2 f(x)=-x²+4 f'(x)= -2x 0=x f''(x)=-2 das untere ergebnis ist ja normal. wenn man den graphen zeichnet ist an dem punkt 0/4 ein Maximum. doch bei dem ersten ergebnis ist an der stelle 0 ein Minimum, also im punkt 0/-4. aber da die beiden betragsstriche stehen, kann da gar kein tiefpunkt sein. wenn man den graphen zeichnet müssten eigentlich an den stellen -2 und 2 die Minimas sein. wieso geht das nicht?
28.08.2005, 09:53	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Bestimmung lokaler Extrema über $\begin{eqnarray} f'(x)=0 \end{eqnarray}$ klappt nur, wenn die Funktion differenzierbar ist - das trifft auf $\begin{eqnarray} f(x)=\|x^2-4\| \end{eqnarray}$ nicht zu. Wenn die Funktion zumindest stückweise differenzierbar ist, so wie hier in der anderen Darstellung $\begin{eqnarray} f(x)=\begin{cases} x^2-4 & \;\mbox{für}\; x\leq -2 \;\mbox{und für}\; x\geq 2\\ 4-x^2& \;\mbox{für}\; -2<x<2\end{cases} \end{eqnarray}$ dann kannst du intervallweise ebenso vorgehen, musst aber noch die Übergangsstellen (wie hier -2 und +2) extra untersuchen. EDIT: Lazarus hat recht, deswegen habe ich "und" durch "und für" ersetzt.
28.08.2005, 17:12	Mathe00	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wie macht man das? muss nicht x²-4 für $\begin{eqnarray} x\leq -2 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} x\geq 2 \end{eqnarray}$ sein?
28.08.2005, 17:40	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
nein. da ist die deutsche sprache zu ungenau! mathematisch gesehn heisst "oder" soviel wie "entweder oder". "und" heisst "das eine UND das andere". im deutschen sprachgebrauch wird das nicht so eng gesehn und man benutzt einfach alles irgendwie. zu der frage wie man das mache: 1) musst du beide abschnitte einzeln untersuchen nach extremstellen. 2) dann musst du die endpunkte jedes abschnittes untersuchen. vom verfahren her wie immer servus
28.08.2005, 19:15	Mathe00	Auf diesen Beitrag antworten »
und wie untersucht man die abschnitte einzeln?
28.08.2005, 19:29	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
dazu leitest du erstmal jedne abschnitt ab. das wäre für $\begin{eqnarray} x \neq [-2;2] \end{eqnarray}$ 2x und für $\begin{eqnarray} x \in ]-2;2[ \end{eqnarray}$ -2x. so und nun musst du schauen wo diese funktionen nullstellen haben! erst für x aus ]-2;2[ : -2x hat eine nullstelle und die liegt bei 0; 0 ist in dem intervall enthalten also ist das ein extrempunkt. die prüfung welcher art der extrempunkt ist erfolgt wie immer über die zweite ableitung: -2x abgeleitet ergiebt -2. das ist negativ das bedeutet es ist ein maximum an der stelle 0 zu erwarten. das gleiche für den anderen abschnitt : 2x hat ebenfalls eine nullstelle, auch die 0. allerdings ist diese nicht im intervall enthalten also hat der andere abschnitt keine extrempunkte. nun ist noch die frage ob an den randpunkten zwischen den einzelnen abschnitte extrempunkte herrschen, und wie machen wir das ??? etz bist du mal wieder an der reihe !
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28.08.2005, 19:39	Mathe00	Auf diesen Beitrag antworten »
das was du vorgerechnet hast, hab ich schon gemacht. steht in meinem ersten beitrag. was meinst du mit den randpunkten? 2 und -2? wenn ich mir den graphen anschaue könnten bei 2 und -2 Extrema sein,, aber ich weiß ja grad nicht wie man das rechnerisch raus kriegt.
28.08.2005, 23:45	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
nun die erste ableitung hat hier keine nullstelle. das ist denk ich offentsichtlich. deshalb die frage: was zeichnet denn ein extremum genau aus ? nichtnur das die steigung an genau diesem punkt gleich 0 ist, sondern das es links und rechts bergauf (bei einem minimum) oder bergab (bei einem maximum) geht! das bekommen wir normaler weise durch das prüfen der zweiten ableitung raus, aber diese einfache methode versagt sogar schon bei beispielen wie $\begin{eqnarray} f(x) = x^4 \end{eqnarray}$ ! bei diesen fällen sucht man danach ob ein Vorzeichenwechel(VZW) bei der ersten ableitung vorliegt. das tut man indem man mit einer beliebig kleinzumachenden positiven reellen zahl die umgebung der nullstelle der ersten ableitung absucht. das nennt sich "eine umgebungsuntersuchung" oder "die h-methode" (wobei h die beliebigkleinzumachende zahl ist.) hast du davon schonmal was gehört ? bestimmt bei der einführung der differentialrechnung, den bei der herleitung kann es auch sein das diese methode angewand wurde. entweder die "h-methode" oder die "x_0 methode" vom prinzip her das gleiche.. wir haben nun das problem das die erste ableitung nicht null ist und wir daher diese nicht auf einen VZW untersuchen können.. aber das ist egal, ein extremum zeichnet sich schliesslich dadurch aus das es links und rechts davon nicht extremers gibt, auch nicht in der nähsten umgebung! und genau diese werden wir mithilfe der h-methode untersuchen. und das geht so: du errechnest den funktionswert bei x = + / - 2 und setzt dann jeweils an für f(2+h) oder f(2-h) und zeigst das beide funktionswerte grösser sind. sollte denk ich kein problem sein bedenke allerdings das wenn du 2-h bzw -2+h bist du jeweils ins andere intervall gerutscht. so: langer rede kurzer sinn: wir machen ne umgebungsuntersuchung! gute nacht
29.08.2005, 17:16	Mathe00	Auf diesen Beitrag antworten »
ok hab ich gemacht. und da kommt bei x=2 die steigung -4 und 4 raus, also in sich ein widerspruch. bei dem anderen hab ich das noch nicht gemacht, aber es kommt wohl dasselbe raus. gibt es noch eine andere möglichkeit wie ich herausfinde, ob das ein extremum ist?
29.08.2005, 17:28	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man eine Nichtdifferenzierbarkeitsstelle $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ einer stetigen und fast überall (d.h. mit Ausnahme endlich vieler Stellen) differenzierbaren Funktion betrachtet, dann liegt dort ein lokales Extremum vor, falls $\begin{eqnarray} \lim\limits_{x\searrow x_0}~f'(x) \cdot \lim\limits_{x\nearrow x_0}~f'(x) < 0 \end{eqnarray}$ ist, d.h., beide halbseitigen Grenzwerte der Ableitungen unterschiedliche Vorzeichen aufweisen. Das ist allerdings nur ein hinreichendes, kein notwendiges Kriterium (im Fall Produkt=0 kann da nämlich alles mögliche passieren). Im hier vorliegenden Fall ist dieser Aufwand aber gar nicht nötig: Für $\begin{eqnarray} f(x)=\|x^2-4\| \end{eqnarray}$ gilt offenbar $\begin{eqnarray} f(x)\geq 0 \end{eqnarray}$ (Betrag!!!), also sind Stellen wie 2 und -2 mit $\begin{eqnarray} f(2)=f(-2)=0 \end{eqnarray}$ ganz offensichtlich Minima.

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