komplexe Zahlen: 4. Grad |
| 23.03.2004, 16:26 | mayo | Auf diesen Beitrag antworten » |
| komplexe Zahlen: 4. Grad Zu berechnen sind alle Lösungen der Gleichung: z^4 = -4 Danke schonmal für die Hilfe |
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| 23.03.2004, 17:46 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hi! Zunächst etwas Allgemeines: Eine komplexe Zahl z = a + b.i kann folgendermaßen geschrieben werden: r = sqrt(a² + b²), phi = arctan(b/a) daraus auch cos(phi) = a/r, sin(phi) = b/r a = r*cos(phi), b = r*sin(phi) --> z = r*(cos(phi) + i*sin(phi)) Nun kommt der Satz von Moivre ins Spiel: (cos(phi) + i*sin(phi))^n = (cos(n*phi) + i*sin(n*phi)) Dieser Satz resultiert wiederum aus der Euler'schen Formel e^(i*phi) = cos(phi) + i*sin(phi) Diese Formel könnte man mittels der Potenzreihen für sin(x), cos(x) und exp(x) relativ leicht beweisen. Wenn man die obige Gleichung mit n potenziert, erhält man [e^(i*phi)]^n = [cos(phi) + i*sin(phi)]^n Da die linke Seite beim Potenzieren zu e^(i*n*phi) wird, erkennt man, dass sich der Winkel phi auf n*phi vervielfacht hat! Somit tritt rechts ebenfalls statt phi der Winkel n*phi (und nicht phi^n) auf: [cos(phi) + i*sin(phi)]^n = [cos(n*phi) + i*sin(n*phi)] Auf Grund dieses Satzes (Moivre) ist nun z^n = (a + b*i)^n = = [r*(cos(phi) + i*sin(phi))]^n = = r^n * (cos(phi) + i*sin(phi))^n = = r^n * (cos(n*phi) + i*sin(n*phi)) In Potenzschreibweise (Polarform): z = r*e^(i*phi) -> z^n = r^n * e^(n*phi) Dieser Satz gilt nicht nur für natürliche n, sondern auch für rationale, somit kann man ihn auch für die Wurzeln verwenden: n.Wurzel(z) = n.Wurzel(r) * (cos((phi + 2k*pi)/n) + i*sin((phi + 2k*pi)/n)) bzw. n.Wurzel(z) = n.Wurzel(r)*e^(phi + 2k*pi)/n k € Z|, phi in rad Durch das Addieren von 2k*pi zu dem Winkel trägt man der Periodizität von 2pi der Winkelfunktionen Rechnung. Man muss dies nur so lange machen (n mal), bis EIN Umlauf des Zeigers (um 2pi) erfolgt ist. ________________________________________________ Zu der gegenwärtigen Aufgabe: z^4 = -i Wir stellen i in trigonometrischer Schreibweise dar: r = 4, phi = PI (180°) °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° phi ist der Startwinkel, und der muss stimmen (cos(phi = -1 und sin(phi) = 0). Wenn dieser falsch ist, ist die ganze weitere Rechnung nutzlos, weil falsch. -4 wird also als 4*(cos(PI) + i.sin(PI)) geschrieben. Die 4. Wurzeln daraus (davon gibt es vier!) sind nach o.a. Beziehungen z = 4.Wurzel(4) * (cos((PI + 2k*PI)/4) + i*sin((PI + 2k*pi)/4)) z = sqrt(2) * (cos(PI/4 + k*PI/2) + i*(sin(PI/4 + k*PI/2)) °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° k = 0,1,2,3 z1 = sqrt(2)* (cos(PI/4) + i.sin(PI/4) z2 = sqrt(2)* (cos(3PI/4) + i.sin(3PI/4) z3 = sqrt(2)* (cos(5PI/4) + i.sin(5PI/4) z4 = sqrt(2)* (cos(7PI/4) + i.sin(7PI/4) ---------------------------------------------------------- z1 = 1 + i z2 = -1 + i z3 = -1 - i z4 = 1 - i °°°°°°°°°°°°°°° Gr mYthos |
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| 24.03.2004, 15:02 | mayo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke für die schnelle Hilfe |
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| 27.03.2004, 22:10 | herrlado | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo! Man kann die Lösung auch so berechnen oder?  komplex.jpg |
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