Unterschied Kleinstes / Minimales Element in einer Halbordnung

18.02.2008, 18:02	carsten_prz	Auf diesen Beitrag antworten »
Unterschied Kleinstes / Minimales Element in einer Halbordnung Hi Kann mir jemand den Unterschied zwischem dem kleinsten und dem minimalem Element einer Halbordnung erklären? Für mich ist das das gleiche nur anders hingeschrieben. das scheint aber nich ganz zu stimmen.... ICh sehs einfach nich
18.02.2008, 20:07	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Betrachte die Potenzmenge der Menge $\begin{eqnarray} M=\{0,1\} \end{eqnarray}$ und die auf ihr definierte Halbordung der Teilmengenbeziehung, d.h. für zwei Elemente $\begin{eqnarray} A,B \end{eqnarray}$ der Potenzmenge $\begin{eqnarray} \mathfrak P(M) \end{eqnarray}$ sei $\begin{eqnarray} A\leq B :\Leftrightarrow A\subset B \end{eqnarray}$ . Es ist $\begin{eqnarray} \mathfrak P(M)=\{\varnothing,\{0\},\{1\},\{0,1\}\} \end{eqnarray}$ und hier ist $\begin{eqnarray} \varnothing \end{eqnarray}$ das kleinste Element. Natürlich ist es auch das einzige minimale Element. Nun betrachte die Menge $\begin{eqnarray} \mathcal P:=\mathfrak P(M)\setminus \varnothing=\{\{0\},\{1\},\{0,1\}\} \end{eqnarray}$ . Hier sind sowohl $\begin{eqnarray} \{0\} \end{eqnarray}$ als auch $\begin{eqnarray} \{1\} \end{eqnarray}$ minimale Elemente, weil es keine Menge $\begin{eqnarray} A\in \mathcal P \end{eqnarray}$ gibt mit $\begin{eqnarray} A\subsetneq \{0\} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} A\subsetneq \{1\} \end{eqnarray}$ . Allerdings sind dies keine kleinsten Elemente. Vielleicht kannst du ja selbst einmal beantworten, warum sie das nicht sind?! Das 'Problem' an der Sache ist, dass diese Halbordnung keine totale Ordnung ist. Es gibt eben Elemente, die man bezüglich dieser Halbordnung nicht vergleichen kann.
20.02.2008, 15:13	carsten_prz	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort. Ist das Promblem im 2. Fall (P-leere Menge) das es nicht nur ein elemnt ist also das es 2 elemente sind ? Muss das kleinste eindeutig sein ?
21.02.2008, 00:30	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das kleinste Element ist eindeutig bestimmt, es gibt also nur eines. Allerdings ist das ursächliche Problem, dass die Menge nicht total geordnet ist. Wäre $\begin{eqnarray} \{0\} \end{eqnarray}$ kleinstes Element von $\begin{eqnarray} \mathcal P \end{eqnarray}$ , so müsste für alle Mengen $\begin{eqnarray} A\in\mathcal P \end{eqnarray}$ gelten: $\begin{eqnarray} \{0\}\subset A \end{eqnarray}$ . Hier gilt jedoch nicht $\begin{eqnarray} \{0\}\subset \{1\} \end{eqnarray}$ , also ist $\begin{eqnarray} \{0\} \end{eqnarray}$ kein kleinstes Element.
21.02.2008, 22:45	carsten_prz	Auf diesen Beitrag antworten »
ach sooooooo Ja das macht Sinn , DANKE !

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