Spline Interpolation

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Protector1982 Auf diesen Beitrag antworten »
Spline Interpolation
Ich habe die Spline Interpolation verstanden so dass:
  1. Lineare Spline Interpolation : gelöst werden muss (2Gleichungen)
  2. Quadratische Spline Interpolation gelöst werden muss (3Gleichungen)
  3. Qubische Spline Interpolation: (4Gleichungen)


Das ist auch alles kein Problem, die folgende Aufgabe bekomme ich jedoch nicht gelöst, da mir ja Werte für eine Gleichung fehlen.

Gegeben seien die Funktion und die Stützstellen
k 0 1 2
x 0 1 2
y 0 0 0

- Geben Sie den interpolierenden kubischen Spline auf den beiden Teilintervallen in Abhängigkeit der Werte s0 , s1 , s2.
- Stellen Sie das Gleichungssystem für die vollständige Spline Interpolation auf.
- Stellen Sie das Gleichungssystem für die natürliche Spline auf.
- Stellen Sie das Gleichungssystem für die periodische Spline auf.


Ich würde für die Spline Interpolation, die Gleichungssystem so aufstellen:

Jetzt fehlt mir allerdings noch eine Gleichung um den Spline zu berechnen.
Wo liegt der unterschied, zwischen einem vollständigen, einem natürlichen und einem periodischen Spline?
quarague Auf diesen Beitrag antworten »

erstmal kubisch schreibt man mit k Augenzwinkern
zweitens: der Sinn von kubischen Splines ist, das sie auch noch in den ersten Ableitungen stetig sind. Das heisst, du brauchst einen Spline auf dem Intervall
[x_0, x_1]=[0,1] sagen wir 'g' und einen auf [x_1, x_2]=[1,2] sagen wir 'h'
dabei soll gelten:
die Stützstellen:
g(x_0)=f(x_0) und g(x_1)=f(x_1)
h(x_1)=f(x_1) und h(x_2)=f(x_2)
und erste Ableitung ist stetig:
f'(x_1)=g'(x_1)=h'(x_1)

und zwei Gleichungen für den Spline-Typen:
natürlich heisst glaube ich:
g'(x_0)=0 und h'(x_2)=0
periodisch und vollständig sind auch so ähnlich, musst du mal in deinem Hefter gucken Wink
 
 
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Bei kubischen Splines besteht die Interpolationsfunktion aus n intervallweise zu konstruierenden kubischen Polynomen. Diese Funktion muss zweimal stetig differenzierbar sein - die zweite Ableitung ist dann ein "Geradenzug". Aus diesen Forderungen ergeben sich (4n-2) lineare Gleichungen für die (4n) Koeffizienten der n zu bestimmenden Polynome - es fehlen also 2 Gleichungen . Und diese 2 hängen von den erwähnten Unterkategorien ab:

1) natürliche Splines: , also keine Krümmung an den Endpunkten.

2) periodische Splines: , kann also "glatt" periodisch fortgesetzt werden, sofern auch erfüllt ist.

3) vollständige Splines: Da bin ich mir nicht sicher, ich glaube das betrifft die Festsetzung der ersten Ableitungen an den Randpunkten gemäß einer Referenzfunktion g(x) (wie hier diese Sinusfunktion):


@Protector1982

Bei dir hier ist n=2, mit den Teilintervallen [0,1] und [1,2]. Also musst du hier nicht 4, sondern 8 Koeffizienten bestimmen (s.o.).
Protector1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Arthur du rettest mal wieder meinen Arsch!
Ich weiß echt nicht wie ich ohne die Hilfe von euch als meine Klausuren bestehen würde!
Zum Glück ist mit Mathe nach den zwei Klausuren endlich schluß.
Das Informatiker so viel Mathe machen müssen ist echt grausam!

PS: Wenn du dir das Topic mit dem Piviot-Verfahren nochmal angucken könntest, wie ich da jetzt weiter rechnen muss wäre das natürlich geil *g*
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Protector1982
Das Informatiker so viel Mathe machen müssen ist echt grausam!

Nein, das muss so sein, damit sie gute Informatiker werden.
Protector1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Muss es nicht!
Auch wenns offtopic ist!
Das Mathe, dass wir wirklich brauche läßt sich auf zwei Vorlesungen reduzieren!
Jetzt hatte ich im Grundstudium Ana 1, Ana2, LA1, LA2, Diskrete Strukturen, Differenzialgleichungen.
Numerik und Stochastik steht noch aus... Die muss ich noch bestehen für das Vordiplom...
Protector1982 Auf diesen Beitrag antworten »

So hier also nochmal mein Versuch nach der Erklärung:
Vollständiger Spline:
Spline 1 im Intervall [0,1]:
Gegeben:

Es fehlen noch zwei Gleichungen.
Gleichung 1 durch die Bedinung der vollständigen Spline
Somit landet man bei:

Fehlt immer noch eine Gleichung, die man durch die Stetigkeit an den Intervallgrenzen bekommt:

Somit erhält man das System:

Das Gleichungsystem gelöst ergibt:


Das gleiche jetzt noch für das Intervall [1,2]:
Gegeben:

Es fehlen noch zwei Gleichungen.
Gleichung 1 durch die Bedinung der vollständigen Spline
Somit landet man bei:

Fehlt immer noch eine Gleichung, die man durch die Stetigkeit an den Intervallgrenzen bekommt:

Somit erhält man das System:

Welches die Lösung:


erhält.
Um nun das vollständige Spline zu erhalten, einfach beide Teile zusammensetzen:


Habe ich das somit richtig verstanden?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, so richtig hast du es wohl noch nicht verstanden. Die Spline-Funktion besteht hier aus n=2 kubischen Polynomen:



mit

.

Und dann müssen folgende 6 Gleichungen erfüllt sein, egal welche Spline-Art (natürlich, periodisch oder vollständig) du betrachtest:



Gerade die letzten beiden Gleichungen (das sind die Stetigkeitsbedingungen für die Ableitungen an der Stelle x=1) sorgen dafür, dass du eben nicht die Koeffizienten schön bequem für beide Teilintervalle getrennt ausrechnen kannst. Nein, sie sind durch diese Kopplung eng miteinander verzahnt.

So, zwei Gleichungen fehlen noch, bei vollständigen Splines wären das



Wir hatten diese Diskussion schon mal hier im Board, musst du mal ein bisschen suchen...
Protector1982 Auf diesen Beitrag antworten »

hm, ich habe hier mal die Musterlösung, die machen irgendwie was ganz anderes?!







in einsetzten:


AD Auf diesen Beitrag antworten »

Tja, wer soll das jetzt verstehen... Vermutlich gehen die da so ähnlich vor wie hier:

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/kubspline.htm

Alle 4 Koeffizienten eines Teilintervalls werden in Abhängigkeit eines dieser vier Koeffizienten dargestellt (auf der erwähnten Website ist das der quadratische Koeffizient, aber das ist kein Muss), und dann wiederum werden all diese Koeffizienten als Lösung eines linearen Gleichungssystems ermittelt.
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