Basis eines VRs beweisen

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p5ychia7er Auf diesen Beitrag antworten »
Basis eines VRs beweisen
Servus, noch eine für mich aktuell noch nicht ganz verständliche Aufgabe:

Zeige, dass

eine Basis des
ist.

als Basis müssten die drei ja linear unabhängig voneinander sein, doch wie beweise ich so etwas?

... in einer anderen Aufgabe war gefragt:

Welche der folgenden Mengen bildet ein Erzeugendensystem bzw. eine Basis des

a)

b)

c)

Ich habe mir das ganze dann so vorgestellt:
c) kann keine Basis bilden, da linear abhängig, ist durch die verschiedenen Steigungen und Richtungen in allen Ebenen aber ein Erzeugendensystem
a) durch die Einschränkung in den Richtungen bzw. Ebenen weder Basis noch Erzeugendensystem
und b) beides
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis eines VRs beweisen
Nimm einmal die Monombasis des Nun schauen wir uns die Vektoren (hier Polynome) einam genauer an.








Bzgl. obiger Basis haben die Polynome also die Koordinaten(vektoren), die wir nun in eine Matrix schreiben. Deren Rang muss bestimmt werden. oder Determinante ist hier eine Alternative.



Ist die Determinante von 0 verschieden, so hat die Matrix vollen Rang und die Vektoren bilden eine Basis.


Bei der nächsten aufgabe gilt:

Erzeugendensystem: erzeugt den Raum. Es müssen also mindestens so viele Vektoren wie Dimensionen sein.

Basis: minimales Erzeugendensystem, die Vektoren sind zudätzlich linear unabhängig (und genau so viele wie Dimension)
p5ychia7er Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Bzgl. obiger Basis haben die Polynome also die Koordinaten(vektoren), die wir nun in eine Matrix schreiben.


Bis dahin hab ichs verstanden und es klingt, "wenn man es dann weiß" völlig logisch und offensichtlich...
aber dann Augenzwinkern
Was bedeutet Rang bestimmen, Determinante als Alternative und voller Rang der Matrix? verwirrt


Aus deinen Erläuterungen zu meiner zweiten Aufgabe schließe ich, dass ich richtig lag, oder hab ich da auch noch etwas falsch verstanden?

Danke
p5ychia7er
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

http://de.wikipedia.org/wiki/Rang_(Mathematik) (Schau unter Berechnung nach)

Da wir hier nur wissen wollen, ob der Rang voll ist oder nicht, müssen wir ihn nicht berechnen. Wenn die Determinante der Matrix Null ist, so ist der Rang noicht voll, andernfalls schon.

http://de.wikipedia.org/wiki/Determinante_%28Mathematik%29
p5ychia7er Auf diesen Beitrag antworten »

puh,
ich glaube wir haben bis jetzt (Ende K12/1 Mathe LK) noch nichts in der Richtung Determinante, Matrix und voller Rang gemacht - gibt es noch einen anderen Lösungsweg?
Beziehungsweise wie kann ich hier konkret beweisen, dass es eine Basis ist, also linear unabhängig?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Lu heißt, nur trivial zum Nullvektor kombinierbar. Löse das LGS Ax=0 wobei a obige Matrix ist. Dann darf nur der Nullvektor x=0 Lösung sein.
 
 
p5ychia7er Auf diesen Beitrag antworten »

ich mit meinem jugendlichen leichtsinn habe es jetzt mal so probiert:





woraus sich dann ergibt, dass 0 für k, l und m die einzige Lösung ist, was ich dann für den Lu Beweis halte - richtig?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Man sollte die Rechnung natürlich Ausführlich machen, was dann ncihts anderes als der Gaußalgo ist. Dann passt das. Augenzwinkern
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