Vektorprodukt oder Skalarprodukt?

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r_ratlos Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorprodukt oder Skalarprodukt?
Folgende Aufgabe:
Die zwei Vektoren a=(1;0;0) und b=(0;1;1) spannen eine Ebene auf. Es sind alle Vektoren dieser Ebene zu bestimmen, die auf dem Vektor c=(1;0;-1) senkrecht stehen.

Wenn ich das richtig sehe, muss also der Vektor c sowohl senkrecht auf a als auch auf b stehen. Das könnte ich mittels Skalarprodukt darstellen und würde zwei Gleichungen erhalten. Aber was mache ich dann damit? Oder muss ich das Kreuzprodukt aus a und b bilden? Dann hätte ich EINEN senkrechten Vektor, aber was hat der mit c zu tun?
Ich bin ratlos ....

Gruß
Micha
Egal Auf diesen Beitrag antworten »

Nein du sollst die Vekoren senkrecht zu c bestimmen und dann gucken welche dieser Vektoren in der von a und b aufgespannten Ebene liegen.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Hinweis: Betrachte den Normalenvektor der von aufgespannten Ebene. Als Normalenvektor steht er senkrecht auf allen Vektoren dieser Ebene, speziel also auch auf den gesuchten Vektoren. Letztere müssen zudem auch noch senkrecht auf stehen...
r_ratlos Auf diesen Beitrag antworten »

Schön, also schon mal der erste Denkfehler.
Und wie bestimme ich senkrechte Vektoren zu c? Indem ich das Skalarprodukt aus c und einem unbekannten Vektor d ermittle? Wie das?
Wenn das, wie auch immer geschafft ist, müsste dann wohl "nur noch" geprüft werden, unter welchen Umständen dieser gefundene Vektor linear abhängig von a und b ist, oder?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Du suchst Vektoren, die zugleich auf und senkrecht stehen. (Wenn ich noch deutlicher werde, schlägt hier die Zensur zu. Augenzwinkern )
r_ratlos Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sitze heute schon den ganzen Tag an diesem "Zeug" und so langsam geht mir wohl die "Puste" aus ... :-)
Heißt das also nun, dass ich das Skalarprodukt von c und n bilden muss? Und wenn das (nun endlich) stimmen sollte, wie schreibe ich das Ergebnis, um alle Vektoren zu beschreiben - einfach mit einem Faktor davor?
 
 
derkoch Auf diesen Beitrag antworten »

du liest Arthurs Beitrag nicht genau(besonders das rot Geschriebene!!) smile
r_ratlos Auf diesen Beitrag antworten »

Na gut, nächster Versuch ...
Also Vektorprodukt aus c und n?
Egal Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aussagen das dieser ominöse Vektor auf beiden Senkrecht steht sollte dich wenn du zunächst von einem vollkommen unbekannten Vektor ausgehst auf eine Reihe von Gleichungen führen die du dann "nur" lösen musst.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von r_ratlos
Also Vektorprodukt aus c und n?

Freude

Und natürlich alle Vielfachen davon.


P.S.: Sollte allerdings als Vektorprodukt der Nullvektor herauskommen, dann liegt der Sonderfall vor, dass c bereits senkrecht auf der a,b-Ebene steht. In diesem Fall lautet die Lösung natürlich anders.
derkoch Auf diesen Beitrag antworten »

Freude


edit: mist zu langsam smile
r_ratlos Auf diesen Beitrag antworten »

Augenzwinkern Erleichterung
Nur noch die Abschlussfrage: Da in der Aufgabe nach allen Vektoren gesucht wird - muss dann in der Lösung eine Variable in der Form d=r(x;y;z) genannt werden?

Danke nochmal!
r_ratlos Auf diesen Beitrag antworten »

Schon beantwortet - ich war auch zu langsam.

Danke! Freude
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Noch eine Anmerkung: Der Zusammenhang zu der Alternativlösung von Egal ist der sogenannten Grassmann-Identität



anzusehen.
babelfish Auf diesen Beitrag antworten »

=> verschoben
r_ratlos Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe inzwischen von meiner Dozentin einen anderen Lösungsansatz erhalten:
---------------------------------
Wie stellt man einen Vektor in der von a und b aufgespannten
Ebene dar?
--> als Linearkombination von a und b, d.h. als
r * a + s * b
r,s reelle Zahlen

DIESER Vektor soll auf c senkrecht stehen.
Orthogonalitätsbedingung ergibt:
( r * a + s * b ) * c = 0

(Unterschiedliche Bedeutung der Sternchen!)

Ausmultiplizieren liefert:
r + 0 -s = 0, d.h. r = s
Damit besteht die gesuchte Menge aus den Vielfachen von a+b , also aus
allen Vektoren, deren Komponenten gleich sind.
---------------------------------
Sieht irgendwie anders aus - ist es trotzdem dasselbe?
Egal Auf diesen Beitrag antworten »

Wie so oft führen auch hier verschiedene Wege zum Ziel. Der von deiner Dozentin vorgeschlagene ist einfach nur ein weiterer in einer Reihe von möglichen Wegen.
r_ratlos Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe noch einen ähnlichen Fall zum gleichen Thema, diesmal mit einem Parameter. Die Aufgabe:

Vektor b=(2;0;1) und c=(0;1;-1) spannen eine Ebene auf. Nun soll P des Vektors a=(1;2;p) so bestimmt werden, dass er senkrecht auf b und c steht.

Ich überlege mir, dass a senkrecht auf der Ebene steht, wenn er senkrecht auf b und c steht. Somit könnte ich die Orthogonalität nutzen und zwei Gleichungen mittels Skalarprodukt aufstellen:

a*b=2+0+p=0 --> p=2
a*c=0+2-p=0 --> p=-2

Was fange ich nun mit dieser Erkenntnis an? Oder ist die Herangehensweise falsch?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von r_ratlos
Sieht irgendwie anders aus - ist es trotzdem dasselbe?

Leider hast du ja oben gleich die konkreten Vektoren eingesetzt - bei zunächst allgemeiner Betrachtung hättest du folgendes gesehen:



ergibt umgeformt mit den Lösungen und (mit reellem Parameter t), also die Lösungs-Vektoren



und damit dasselbe Ergebnis wie hier.



EDIT: Zu deinem zweiten Problem:

Zitat:
Original von r_ratlos
a*b=2+0+p=0 --> p=2
a*c=0+2-p=0 --> p=-2

Was fange ich nun mit dieser Erkenntnis an? Oder ist die Herangehensweise falsch?

Nein, die Herangehensweise und auch deine Rechnungen sind völlig richtig. Du musst sie nur noch richtig deuten.
r_ratlos Auf diesen Beitrag antworten »

Brauche ich dazu räumliches Denken? Dann wird es schwierig. verwirrt

Ansonsten stelle ich fest, dass ich zwei Vektoren erhalte, die entweder auf b oder auf c senkrecht stehen. Heißt das, es gibt keine Lösung?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Genau das heißt es. Freude

Wie bei deinem ersten Problem, gibt es auch hier einen Alternativweg über das Vektorprodukt:

müsste dann ein Vielfaches von sein - und das geht nicht.
derkoch Auf diesen Beitrag antworten »

@ r_ratlos

Zitat:
a*b=2+0+p=0 --> p=2
a*c=0+2-p=0 --> p=-2


kleiner tippfehler: a*b=2+0+p=0 --> p=-2

a*c=0+2-p=0 --> p=2 smile
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