Definitionslücken und Asymptoten |
| 23.03.2004, 16:38 | Abitui | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Definitionslücken und Asymptoten Ich habe eine Frage zu Definitionslücken und Asymptoten. Mal angenommen, ich habe eine gebrochen-rationale Gleichung, in der beides vorhanden ist. Wird der Nenner 0, wenn ich für x meinetwegen 3 einsetz, dann ist eine Definitionslücke bei 3, oder nicht? Aber wie bekomme ich die Asymptote heraus? Ich hoffe, mir kann jemand helfen... |
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| 23.03.2004, 17:20 | Drödel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Definitionslücken und Asymptoten Mit deiner Aussage zur Definitionsliste hast du recht. Immer dann, wenn für eine bestimmte Zahl der Nenner Null wird, dann ist dort eine Definitionslücke. z.B. (x+2) / [(x-1)(x+3)^2] hat eine Definitionslücke bei 1 und eine (doppelte) bei -3 Asymptoten ermittelt man am besten durch die sog. "unvollständige Polynomdivision"! Sagt dir das was? |
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| 23.03.2004, 17:37 | Alina_St@r | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also,ich weiß net,was eine "unvollständige Polynomdivision" is,.... |
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| 23.03.2004, 17:47 | Abiagra | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich weiß auch nicht, was das ist... Der Beitrag war von mir, aber mittlerweile bin ich registriert. Polynomdivision klingt aber nicht gut, da ich das nicht kann und auch noch nie ansatzweise begriffen habe. Es gibt ja 2 Arten von Asymptoten, senkrechte und waagerechte. Senkrechte kann man doch auch herausbekommen, zumindest bei gebrochenrationalen Funktionen (und die kommen in der Klausur dran) indem maneine Zahl für x findet, sodass der Nenner null wird aber nicht der Zähler. Stimmt das oder habe ich das falsch verstanden?` Aber woher weiß ich, ob der Graph sich von rechts oder von links an die Asymptote annähert? Auf jeden Fall schonmal danke für die schnelle Antwort! |
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| 23.03.2004, 17:55 | crazyravy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also ich bin neu hier und hätte genau zu diesem thema eine frage: ich hab gestern klausur geschrieben und gehe ein wenn ich nicht weiß ob ich in etwa die lösung hingebracht habe! macht es jemandem was aus, wenn ich die klausur mal hier rein stelle? es ging nämlich hauptsächlich um def. lücken und asymptoten? is vielleicht eine unvollständige polynomdivision, eine polynomdivision, bei der rest bleiben würde, den mann dann aber weglässt? ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- also polynomdivision ist nicht schwer, pass auf, wenn du eine funktion hast: (4x^3 + 5x^2 + 7x + 3) : (x^2 + x) = dann nimmst du nur die ersten beide, hier 4x^3 : x^2 kommt ja 4x raus dann nimmst die 4x und multiplizierst wieder zurück: 4x * x^2 dann hast wieder die 4x^3 und dann multiplizierst die 4x * x dann abziehen und weiterrechnen! war das verständlich oder soll ichs nochmal genauer erklären? *g* is kompliziert so zu schreiben! //EDIT by sommer87: Doppelposts vermeiden, EDIT nutzen! |
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| 23.03.2004, 18:04 | Drödel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es gibt mehr als nur senkrechte und waagrechte Asymptoten! 
Die beiden sind allerdings die einfacheren und bei denen kommt man auch ohne Polynomdivision aus - nur wenn man die sog. Asymtotenkurven sucht (das können Geraden oder auch Polynomfunktionen höherer Ordnung sein) braucht man die Polynomdivision.Aber ein bisserl was zu waagrechten Asymptoten: 1) Ist der Grad des Nennerpolynoms größer als der Grad des Zählerpolynoms einer gebrochen rationalen Funktion, dann ist die x-Achse Asymptote ( y=0 ) 2) Ist der Grad des Nennerpolynoms gleichdem Grad des Zählerpolynoms dann ist die Waagerechte y=c Asymptote, wobei c der Quotient aus dem Koeffizent der größten Potenz des Zählers durch den entsprechenden Koeffizenten des Nenners ist. Nun noch: 3) Senkrechte Asymptoten hat man an den Nullstellen des Nennerpolynoms. Sprich wenn man eine Definitionslücke bei 3 hat, dann ist die senkrechte Asymptote x=3. Das gilt aber nur, falls diese Stelle nicht gleichzeitig Nullstelle des Nenners ist. Dann muss man die Vielfachheit dieser Nullstelle des Zählers bzw. des Nenners "genauer" beleuchten. Reicht das? Oder benötigst du noch ein bisserl mehr zu Fall 3) oder zu AsymptotenKurven und Polynomdivision? Happy Mathing |
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| 23.03.2004, 18:04 | Alina_St@r | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja,stell mal deine Klausur hier rein,........aber deine Antworten auch!!! Schreibe am Donnerstag vorabiklausur in GK Mathe!Da kommt so einiges vor,..... |
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| 23.03.2004, 18:09 | crazyravy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich versuchs nommal schnell genauer bzw. anschaulicher: die zahlen mit denen ich arbeite mache ich fett, was ich zurückmultipliziere mache ich kursiv! (4x^3 + 5x^2 + 7x + 3) : (x^2 + x) = 4x + 1 -(4x^3 + 4x^2) ---------------------------- abziehen bleibt x^2 diese x^2 teilst wieder erst durch die x^2 bleibt 1 -(x^2 + x) ----------------- wieder voneinander abziehen bleibt 6x und die kann man natürlich nicht mehr durch x^2 teilen und dann bleibt hier z.b. ein rest übrig und das ergebnis hieße dann: 4x + 1 Rest: (6x + 3) / (x^2 + x) ich hoffe dadurch wurde es ein wenig deutlicher? 
oder hab ich dich jetzt komplett verwirrt? |
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| 23.03.2004, 18:15 | Drödel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Schön formuliert und an dieser Rechnung kann man auch toll die Asymptotenkurve der gebrochen rationalen Funktion erkennen. ALLES WAS NICHT REST IST
. Also hier ist dann die Asymptotenfunktion a(x)=4x+1 . Obige Funktion nähert sich also für x gegen unendlich der Geraden 4x+1 an.Allgemein kann man sagen, dass der Grad der Asymptotenfunktion der Differenz aus Grad des Zählerpolynoms - Grad des Nennerpolynoms entspricht (falls Zählergrad größer oder gleich Nennergrad) Happy Mathing |
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| 23.03.2004, 18:18 | Abiagra | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also, 1.) habe ich problemlos verstanden. Könntest du 2.) nochmal auf 'deutsch' ausschreiben? Zumindest das hier: "wobei c der Quotient aus dem Koeffizent der größten Potenz des Zählers durch den entsprechenden Koeffizenten des Nenners ist." Bzw mir einfach sagen, was ein Koeffizient sein soll... *g* Zu 3.) Ich denke, eine Definitionslücke ist dann vorhanden, wenn der Nenner null ist. Wie soll dann aber eine Asymptote bei einer Definitionslücke sein, wenn der Nenner NICHT null ist? Asymptotenkurven kenne ich gar nicht, also werden die auch in der Vorabiklausur nicht drankommen, trotzdem danke... Jedenfalls habe ich eben beschlossen, dass ich Mathe-Nachhilfe nehmen werde. So.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Es tut mir leid, ich verstehe das einfach nicht... Ich weiß, man könnte meinen ich wüsste nicht mal was 2*2 ist, aber ich geb mir trotzdem Mühe... //EDIT by sommer87: Doppelposts vermeiden, EDIT nutzen! |
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| 23.03.2004, 18:25 | crazyravy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
naja also die klausur: ok aber die antworten hab ich natürlich nicht, weil ich nicht weiß ob meine richtig sind und irgendwie hab ich mich mit den asymptoten doch etwas verhaun, aber mal sehen wer das hier lösen kann: 1) Bestimme jeweils die Achsenschnittpunkte, Definitionslücken nach Art und Lage und die Asymptoten: a) y= x^2 + 1 b) y= x^2 - 4 c) y= x - 2 ----------- #####----------- ##---------------- ## x^2 - 1 ##### x #####x^2 - 2x - 3 DIE KREUZE SIND NUR, WEIL SONST DER NENNER IMMER SO VERRUTSCHT 2) Betrachte die Funktionsschar: fa(x)= x^3 + 3x^2 - a ######################## --------------------- ######################## 2x^3 - 2x a) für welche Werte von a hat f eine hebbare Definitionslücke (Rechnung, Begründung, Lage der Lücke) (Ersatzwerte) für die folgenden Fragen gelte a:=4 und f:=f4 b) Zeige, dass f durch die stetige Fortsetzung f(schlange ~ f(x)= x + 2 + 2 #### -- ## -- #### 2 ### x erseetzt werden darf c) Gib die Grenzwerte von f an für x--> 0+, x-->1, und x-->+unendlich d) Bestimme die Asymptoten e) Untersuche f auf Nullstellen, Extrema und Wendepunkte f) Zeichne f (-7 < x < 7, -5 < y < 8 ) g) Zeige, dass F(x):= x^2 + 2x + 2lnx eine Stammfunktion von f ist ############# ----- ############## 4 kein Prob wenn man die b) mit einbezieht *g* h) Berechne die Fläche zwischen f, der x- Achse und den Geraden x= 2 und x= 4 und zeichne die Fläche im Diagramm ein! Also die Wertung ist etwa 3: 7 hat der Lehrer gemeint und wir hatten 60 min Zeit, fand ich sehr knapp, weil ich gar nicht mehr dazu gekommen bin, alle aufgaben zu lösen, nachdem ich bei der e) an f'' hing naja sag mal was genau du an der polynomdivision nicht verstehst? ich bin wirklcih kein mathegenie, im gegenteil, aber das ist nicht schlimmer als teilen ohne variablen! |
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| 23.03.2004, 18:29 | Drödel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gut.. was ist der Grad eines Polynoms? Das ist nix anderes als "der Wert der höchsten Potenz" Bspl: f(x)=x^4 -> Grad 4 f(x)=x^178+x^4+x -> Grad 178 Was ist ein Koeffizient? Die Zahl vor der Variable! f(x)= 5x^3+6x ... Der Koeffizient der höchsten Potenz ist 5! Bspl waagrechte Asymptote ungleich y-Achse: Quotient aus den Koeffizienten der höchsten Potenzgrade: 5/2 , also Asymptote y=2,5 Alles klar? Ach noch was. Keine Mehrfachposts ... Als registrierter Nutzer kannste editieren. Zu 3) eine senkrechte Asymptote ist immer nur dann vorhanden, falls da eine Definitionslücke an dieser Stelle ist, aber falls da eine Definitionslücke vorhanden ist, muss noch lange keine senkrechte Asymptote sein. Bspl: f(x) = {(x-2)^2(x+2)] / [(x-2)] hat eine Definitionslücke bei 2, aber dort ist nur ein Loch im Graohen, keine senkrechte Asymptote. Im Gegensatz zu Bspl: f(x) = {(x-2)(x+2)] / [(x-2)^2]. Dies Funktion hat bei 2 Definitionslücke und senkrechte Asymptote Alles klar? Happy Mathing |
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| 23.03.2004, 18:36 | Abiagra | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
zu 3) Und das ist so, weil der Grad des Nenners größer ist als der des Zählers, richtig? Mensch, ich verstehe ja richtig was. Danke Leute! An der Polynomdivision verstehe ich gar nichts. Ich glaube, du bist etwa der 5. der versucht, mir das zu erklären. 4x³/x²=4x das verstehe ich noch. Aber wieso man das x von x²+x einfach links liegen lässt, und wie es dann weitergehen soll, das habe ich noch nie in meinen Kopf bekommen. |
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| 23.03.2004, 18:45 | crazyravy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
einfach so, egal was ist du lässt alles was nach den jeweiligen ersten beiden faktoren steht liegen! das brauchst ausschließlich zum zurückmultiplizieren! immer nur den ersten faktor vom ersten teil und durch was du teilst IMMER nur den ersten faktor! probier mein beispiel mal weiter durch! wenn du den ersten teil kapiert hast, dann isses total easy, mach genauso weiter! |
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| 06.05.2009, 13:24 | pauliauli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Polynomdivision Die beste Seite, um Polynomdivision zu verstehen: Gib bei Googel mal Arndt Bruenner Polynomdivision ein und der erste Link bringt dich auf die Seite, wo du die Polynomdivision bestimmt verstehst! Viel Spass damit :-* |
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| 06.05.2009, 13:32 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Polynomdivision @pauliauli: Der Thread ist über 5 Jahre alt! 
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