summenzeichen

19.02.2008, 10:21

teoq

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summenzeichen

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^5\sum_{i=-5}^5~[ln(k²)+k]*i \end{eqnarray*}$

hi, ich habe probleme das arbeiten mit dem summenzeichen zu verstehen. wann muss ich eine summezeichen auf alle elemente anwenden, wann nur auf die elemente mit dem selben laufindex.... verwirrt

verwirrt

ist das hier jetzt gleichwertige zur formulierung oben?
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^5~[ln(k²)+k] * \sum_{i=-5}^5~*i \end{eqnarray*}$

19.02.2008, 10:42

Calvin

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Ja, das kannst du so machen. Das ist normales Ausklammern.

19.02.2008, 10:43

Dual Space

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RE: summenzeichen
Ja. Beide Formulierungen sind "gleichwertig".

19.02.2008, 10:47

teoq

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hm, ok, mal ein anderes Beispiel. wie geht das mit dem summenzeichen in die klammer ziehn richtig?

$\begin{eqnarray*} \sum_{m=2}^6\sum_{n=0}^{39}~(mn-2m-4) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{m=2}^6~(\sum_{n=0}^{39}mn-\sum_{n=0}^{39}2m-\sum_{n=0}^{39}4) \end{eqnarray*}$

(39*40)/2 = 780

$\begin{eqnarray*} \sum_{m=2}^6~(780m-39*2m-39*4) \end{eqnarray*}$

stimmt das so noch, oder schon falsch?

19.02.2008, 10:51

Dual Space

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Beachte, dass die Summation bzgl. n bei 0 und nicht bei 1 beginnt.

19.02.2008, 10:55

teoq

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Zitat:

Original von Dual Space
Beachte, dass die Summation bzgl. n bei 0 und nicht bei 1 beginnt.

d.h. was ist falsch?

ist es nicht egal ob bei 0 oder 1 angefangen wird.

0+1+2+3....
1+2+3....

is doch das selbe oder nicht?

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19.02.2008, 10:56

Dual Space

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Das ist wohl war, aber

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^k c=(k+1)c. \end{eqnarray*}$

19.02.2008, 10:58

teoq

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Zitat:

Original von Dual Space
Das ist wohl war, aber

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^k c=(k+1)c. \end{eqnarray*}$

versteh ich nicht...heist das ich muss statt 39* die 40* nehmen?

19.02.2008, 10:59

Dual Space

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Genau.

19.02.2008, 11:01

teoq

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Zitat:

Original von Dual Space
Genau.

hm....wieso erhöht sich der wert um +1 wenn ich bei 0 anfange...versteh ich nicht?

19.02.2008, 11:02

Dual Space

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Ein Beispiel gefällig? Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^2 c=\underbrace{c}_{n=0}+\underbrace{c}_{n=1}+\underbrace{c}_{n=2}=(2+1)c \end{eqnarray*}$

19.02.2008, 11:08

teoq

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ah, ok. gecheckt. smile

smile

$\begin{eqnarray*} \sum_{m=2}^6\sum_{n=0}^{39}~(mn-2m-4) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{m=2}^6~(\sum_{n=0}^{39}mn-\sum_{n=0}^{39}2m-\sum_{n=0}^{39}4) \end{eqnarray*}$

(39*40)/2 = 780

0 - 39 = 40

$\begin{eqnarray*} \sum_{m=2}^6~(780m-40*2m-40*4) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{m=2}^6~(780m-80m-160) \end{eqnarray*}$

(6*7/2)-1 = 20

$\begin{eqnarray*} 780*20-80*20-160*20 \end{eqnarray*}$

ist aber falsch.....wo is den der fehler noch?

19.02.2008, 11:10

Dual Space

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Zitat:

Original von teoq
0 - 39 = 40

Big Laugh

Besser du schreibst die Summe um, etwa so

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^k c=\sum_{n=1}^{k+1}c \end{eqnarray*}$

Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.02.2008, 11:13

Calvin

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Zitat:

Original von teoq
$\begin{eqnarray*} \sum_{m=2}^6~(780m-80m-160) \end{eqnarray*}$

(6*7/2)-1 = 20

$\begin{eqnarray*} 780*20-80*20-160*20 \end{eqnarray*}$

Ich habe noch einen weiteren Fehler:

Die 160*20 sind auch falsch. Hier ist kein m in der Summe.

19.02.2008, 11:17

teoq

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Zitat:

Original von Calvin

Zitat:

Original von teoq
$\begin{eqnarray*} \sum_{m=2}^6~(780m-80m-160) \end{eqnarray*}$

(6*7/2)-1 = 20

$\begin{eqnarray*} 780*20-80*20-160*20 \end{eqnarray*}$

Ich habe noch einen weiteren Fehler:

Die 160*20 sind auch falsch. Hier ist kein m in der Summe.

d.h. ich darf es nicht mutliplizieren? wieso nicht? dann war die multiplikation mit der ersten summe doch auch schon falsch !?

19.02.2008, 11:22

Calvin

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$\begin{eqnarray*} \sum_{m=2}^{6}(780m-80m-160)=\sum_{m=2}^{6}(700m-160)=\sum_{m=2}^{6}700m-\sum_{m=2}^{6}160=700\sum_{m=2}^{6}m-\sum_{m=2}^{6}160 \end{eqnarray*}$

Sieht du den Unterschied zwischen den beiden Summen?

19.02.2008, 11:26

reliq

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Zitat:

Original von Calvin
$\begin{eqnarray*} \sum_{m=2}^{6}(780m-80m-160)=\sum_{m=2}^{6}(700m-160)=\sum_{m=2}^{6}700m-\sum_{m=2}^{6}160=700\sum_{m=2}^{6}m-\sum_{m=2}^{6}160 \end{eqnarray*}$

Sieht du den Unterschied zwischen den beiden Summen?

ich find diese summenzeichen frustrierend......so kompliziert. Aber wieso durfte ich den die erste summe mit der 4 multiplizieren, die zweite nicht. die 4 stand doch auch ohne n da.

19.02.2008, 11:33

Calvin

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verwirrt

Diese Frage verstehe ich nicht verwirrt

verwirrt

Bei so kleinen Summen wie hier kannst du dir auch mal alles ohne Summenzeichen aufschreiben.

$\begin{eqnarray*} \sum_{m=2}^{6}700m=700\cdot 2+700\cdot 3+700\cdot 4+700\cdot 5+700\cdot 6=700\cdot(2+3+4+5+6) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{m=2}^{6}160=\underbrace{160}_{m=2}+\underbrace{160}_{m=3}+\underbrace{160}_{m=4}+\underbrace{160}_{m=5}+\underbrace{160}_{m=6}=5\cdot 160 \end{eqnarray*}$

19.02.2008, 11:38

teoq

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bezog auf diese "Form" der Aufgabe, weiter oben.

hier multipliziere ich die zweite summe mit dem index n trotzdem mit der 4, obwohl dieser kein "n" hat. Wieso durfte ich das hier, und bei der zweiten summe nicht mehr

$\begin{eqnarray*} \sum_{m=2}^6\sum_{n=0}^{39}~(mn-2m-4) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{m=2}^6~(\sum_{n=0}^{39}mn-\sum_{n=0}^{39}2m-\sum_{n=0}^{39}4) \end{eqnarray*}$

19.02.2008, 11:52

Calvin

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verwirrt

So ganz verstehe ich dein Problem immer noch nicht. Ich sehe keinen Unterschied zwischen der inneren und der äußeren Summe verwirrt

verwirrt

Wenn also jemand anderes weiß, worum es geht, darf er/sie sich gerne einmischen Hilfe

Hilfe

Augenzwinkern

Betrachtet man nur die innere Summe, so ergibt sich

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{39}(nm-2m-4)=\sum_{n=0}^{39}nm-\sum_{n=0}^{39}2m-\sum_{n=0}^{39}4 \end{eqnarray*}$

Aus den Summen darfst du Faktoren, die vom Summenindex unabhängig sind, normal ausklammern. Damit könntest du noch weiter umformen zu

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{39}nm-\sum_{n=0}^{39}2m-\sum_{n=0}^{39}4=m\sum_{n=0}^{39}n-2m\sum_{n=0}^{39}1-4\sum_{n=0}^{39}1 \end{eqnarray*}$

Bei den letzten beiden Summen empfinde ich es nicht unbedingt als Vereinfachung, aber das ist Geschmacksache. Ich habe es nur gemacht, um es dir zu demonstrieren.

Wenn du jetzt weiter rechnest, kannst du die Summen erstmal einzeln berechnen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{39}n=\frac{39\cdot 40}{2}=780 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{39}1=40\cdot 1=40 \end{eqnarray*}$

Damit ergibt sich als Gesamtsumme:

$\begin{eqnarray*} m\sum_{n=0}^{39}n-2m\sum_{n=0}^{39}1-4\sum_{n=0}^{39}1=780m-2m\cdot 40-4\cdot 40=700m-160 \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du das in die äußere Summe einsetzen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{m=2}^{6}\sum_{n=0}^{39}(nm-2m-4)=\sum_{m=2}^{6}(700m-160)=\sum_{m=2}^{6}700m-\sum_{m=2}^{6}160=700\sum_{m=2}^{6}m-160\sum_{m=2}^{6}1 \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du wieder beide Summen getrennt berechnen. Die letzte Summe ist wieder unabhängig vom Summenindex.

19.02.2008, 12:16

teoq

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ich bin jetzt total gebasht, ich krieg mein problem jetzt nicht mehr zusammen, dazu schwirren mir jetzt zuviele summenzeichen durch den schädel, ich bin aber zuversichtlich das ich wieder drüber stolpern werde....

danke.

19.02.2008, 12:29

Calvin

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Zitat:

Original von teoq
dazu schwirren mir jetzt zuviele summenzeichen durch den schädel

Big Laugh

Das Summenzeichen ist anfangs ein bißchen verwirrend. Aber es ist kein Hexenwerk. Du musst dich nur daran gewöhnen. Und wie oben schon gesagt: es hilft oft, wenn man sich die Summe mal ohne Summenzeichen hinschreibt.

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