Injektv, Surjektiv und Bijektiv - Seite 2

20.02.2008, 12:31	555	Auf diesen Beitrag antworten »
Also wenn man den Graphen vorliegen hat, denke ich, dass man durchaus erkennen kann, ob die Funktion injektiv ist, da man da nur überprüfen muss, ob jedem x genau ein y zugeordnet ist. Gleiches gilt auch für surjektiv. Aber wenn ich den Graphen nicht vor Augen habe, sondern nur die Funktion... Find ich schwierig, also ich denke, wenn man sich gut auskennt (was ich nicht tue) dann kann man bestimmt mal eben sagen, ob etwas surjektiv oder injektiv ist, aber ich muss persönlich erstmal nach einem Gegenbeispiel suchen, um es sagen zu können und das fällt mir ja auch nicht sofort ein.
20.02.2008, 13:00	555	Auf diesen Beitrag antworten »
Also meine Lösung zu der Aufgabe: $\begin{eqnarray} f<img src="images2/smilies/frown2.gif" border="0" alt="unglücklich" title="unglücklich" /> 0, \infty ), f(x)=e^x \end{eqnarray}$ Injektiv: Also ich gehe davon aus, dass $\begin{eqnarray} x \in (0, \infty ) \end{eqnarray}$ zwei Urbilder $\begin{eqnarray} u_1, u_2 \in \mathbb R \end{eqnarray}$ hat. Zu zeigen ist also: $\begin{eqnarray} f(u_1)=f(u_2) \Rightarrow u_1=u_2 \end{eqnarray}$ Beweis: Annahme: $\begin{eqnarray} e^{u_1} =x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} e^{u_2} =x \end{eqnarray}$ und daraus folgt $\begin{eqnarray} e^{u_1}= e^{u_2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e^{u_1}= e^{u_2} \Rightarrow e^{u_1}- e^{u_2}=0 \end{eqnarray}$ Und deshalb muss gelten: $\begin{eqnarray} u_1= u_2 \end{eqnarray}$ , da sonst die Gleichung nicht stimmt. Also ist f injektiv. Surjektiv: Annahme: $\begin{eqnarray} \forall y\in (0,\infty) \exists x \in \mathbb R :f(x)=y \end{eqnarray}$ Gegenbeispiel: Hier bin ich mir nicht sicher, laut dem Definitionsbereich darf ich ja alle reellen Zahlen einsetzen und im Zielbereich müssen die Zahlen 0 bin Unendlich vorhanden sein. Jetzt weiß ich aber, dass 0 kein Urbild besitzt, da sich die Funktion nur an 0 annähert. Stimmt das, oder steckt da ein Denkfehler drin?
20.02.2008, 13:01	555	Auf diesen Beitrag antworten »
Also meine Lösung zu der Aufgabe: $\begin{eqnarray} f: (0, \infty ), f(x)=e^x \end{eqnarray}$ Injektiv: Also ich gehe davon aus, dass $\begin{eqnarray} x \in (0, \infty) \end{eqnarray}$ zwei Urbilder $\begin{eqnarray} u_1, u_2 \in \mathbb R \end{eqnarray}$ hat. Zu zeigen ist also: $\begin{eqnarray} f(u_1)=f(u_2) \Rightarrow u_1=u_2 \end{eqnarray}$ Beweis: Annahme: $\begin{eqnarray} e^{u_1} =x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} e^{u_2} =x \end{eqnarray}$ und daraus folgt $\begin{eqnarray} e^{u_1}= e^{u_2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e^{u_1}= e^{u_2} \Rightarrow e^{u_1}- e^{u_2}=0 \end{eqnarray}$ Und deshalb muss gelten: $\begin{eqnarray} u_1= u_2 \end{eqnarray}$ , da sonst die Gleichung nicht stimmt. Also ist f injektiv. Surjektiv: Annahme: $\begin{eqnarray} \forall y\in (0,\infty) \exists x \in \mathbb R :f(x)=y \end{eqnarray}$ Gegenbeispiel: Hier bin ich mir nicht sicher, laut dem Definitionsbereich darf ich ja alle reellen Zahlen einsetzen und im Zielbereich müssen die Zahlen 0 bin Unendlich vorhanden sein. Jetzt weiß ich aber, dass 0 kein Urbild besitzt, da sich die Funktion nur an 0 annähert. Stimmt das, oder steckt da ein Denkfehler drin?
20.02.2008, 13:21	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Art, die Fkt. zu definieren, ist nicht wirklich eindeutig. Meinst du $\begin{eqnarray} f: \mathbb R \to (0;\infty ) \end{eqnarray}$ ? Das heißt: Definitionsmenge ist \|R, Wertemenge nur von Null bis Unendlich (beide exklusive, das heißt, die Null und Unendlich sind nicht enthalten!). In dieser Form ist f surjektiv. Wäre $\begin{eqnarray} f: \mathbb R \to [0;\infty ) \end{eqnarray}$ , so hättest du Recht: Die Null kann für kein $\begin{eqnarray} x \in \mathbb R \end{eqnarray}$ erreicht werden, die Fkt. wäre also nicht surjektiv. air Zusatz: Ist dir denn bewusst, wo bei Intervallen der Unterschied zwischen (a;b) und [a;b] liegt?
20.02.2008, 13:48	555	Auf diesen Beitrag antworten »
Müsst ich ehrlich gesagt nach gucken, aber eigentlich bin ich von dem zweiten ausgegangen, also das du mit der eckigen und runden Klammer dargestellt hast. Denke, dass mit den eckigen Klammern ist das abgeschlossene Intervall und das andere weiß ich nicht...
20.02.2008, 13:55	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit runden Klammern meint man "offen". Ganz salopp gesagt: Bei (a;b) gehören a und b nicht mehr zum Intervall, bei [a;b] gehören sie dazu. Natürlich sind die Mischformen wie z.B. (a;b] auch möglich (hier gehört b noch dazu, a aber nicht) air
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20.02.2008, 14:00	555	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, alles klar

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