Kurvenschar; exponentielles Wachstum

19.02.2008, 14:33

Klaudia

Kurvenschar; exponentielles Wachstum

Hallo!
Mit der Aufgabe komme ich gar nicht zurecht:

Zu jedem t $\begin{eqnarray*} (ist Element \mathbb R ) \end{eqnarray*}$ ist eine Funktion $\begin{eqnarray*} f_t \end{eqnarray*}$ gegeben durch $\begin{eqnarray*} f_t(x)= x+e^{-0,5+t} \end{eqnarray*}$

Ihr Schaubild sei $\begin{eqnarray*} K_t \end{eqnarray*}$ .
a) Nennen Sie die wichtigsten Eigenschaften der Kurven der Schar.

-schiefe Asymptote: y=x

weitere weiß ich nicht.

b) Berechnen Sie die Koordinaten des Tiefpunktes $\begin{eqnarray*} T_t \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} K_t \end{eqnarray*}$ .
Ich weiß nicht, wie ich es machen soll in Abhängigkeit von t.
Bestimmen Sie eine Gleichung der Kurve, auf der alle Tiefpunkte liegen.
Für welche Werte von t hat $\begin{eqnarray*} K_t \end{eqnarray*}$ gemeinsame Punkte mit der x-Achse?

-------------------------------------------------------
Nach einem leichten Erdbeben verändert sich in einer unterirdischen Höhle das Wasservolumen V(t), das bisher 60 m³ betrug, mit der Wachstumsgeschwinkigkeit
$\begin{eqnarray*} V'(t) =0,72e^{-0,008t} \end{eqnarray*}$ t in Wochen seit dem Erdbeben, V(t) in m³

Woran ist erkennbar, dass das Wasservolumen zunimmt?
-Das weiß ich nicht.
Bestimmen Sie einen Funktionsterm für V(t).
$\begin{eqnarray*} V(t)= \frac{-0,72}{0,008} e^{-0,008t} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} V(t)=-90e^{-0,008t} \end{eqnarray*}$

Mit welchem Wasservolumen ist auf lange Sicht zu rechnen?

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } x V(t)=0 \end{eqnarray*}$
Das kann ja nicht sein, da das Volumen zunimmt.

Bestätigen Sie durch Rechnung, dass V(t) die Differenzialgleichung V'(t)= 0,008*[150-V(t)] erfüllt.
Das weiß ich. Einfach V(t) ableiten. Setzt man in V'(t) V(t) ein, so muss das gleiche rauskommen.

Erläutern Sie mit Hilfe der Differenzialgleichung, dass die Veränderung des Wasservolumens auf einen konstanten Zufluss und einen zeitabhängign Abfluss von Wasser zurückgeführt werden kann.
?

19.02.2008, 14:38

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kurvenschar; exponentielles Wachstum

Zitat:

Original von Klaudia
Zu jedem t $\begin{eqnarray*} (ist Element \mathbb R ) \end{eqnarray*}$ ist eine Funktion $\begin{eqnarray*} f_t \end{eqnarray*}$ gegeben durch $\begin{eqnarray*} f_t(x)= x+e^{-0,5+t} \end{eqnarray*}$

Fehlt da nicht was? verwirrt

Ich meine, so wird ja zu dem x nur eine Konstante addiert.

19.02.2008, 14:41

hxh

Auf diesen Beitrag antworten »

zu a) schau dir mal ein paar schaubilder der Schar an indem du für t unterschiedliche Werte einsetzt. Dann kannst mal ein paar eigenschaften vermuten und versuchen diese zu Zeigen aber es steht eigentlich nur Nennen Sie da.

zu b) leite einfach mal ab und setze die Ableitung null in abhängigkeit von t. Das sieht dann zB so aus x = t -1

Da V'(t) die Steigung wiedergibt betrachte mal ob diese für alle t positiv ist , wenn ja nimmt das Volumen gewiss zu.

Edit: ich vermute auch dass es vielleicht e^-0,5x +t heissen soll, aber das sollte der Threadersteller/in klären.

19.02.2008, 15:10

Klaudia

Auf diesen Beitrag antworten »

Kurvenschar; exponentielles Wachstum
Sorry!
Nach -0,5 muss in die Potenz ein x.
Also:
$\begin{eqnarray*} f_t(x)=x+e^{-0,5x+t} \end{eqnarray*}$

19.02.2008, 15:17

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kurvenschar; exponentielles Wachstum

Zitat:

Original von Klaudia
b) Berechnen Sie die Koordinaten des Tiefpunktes $\begin{eqnarray*} T_t \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} K_t \end{eqnarray*}$ .
Ich weiß nicht, wie ich es machen soll in Abhängigkeit von t.

Stör dich nicht an dem t. Gehe einfach mit der üblichen Methode vor.

19.02.2008, 15:20

hxh

Auf diesen Beitrag antworten »

ach ja zur erwarteten wasserhöhe, beachte dass V(t) ursprünglich 60m³ war darummusst du deine stammfunktion mit einer konstanten C modifizieren

Neue Frage »

Antworten »

Kurvenschar; exponentielles Wachstum

Verwandte Themen