Probleme mit Ableitungen

19.02.2008, 15:37

nme

Probleme mit Ableitungen

Hi

ich sitze jetzt seit geschlagenen 4 Stunden an einem Übungsblatt bzw. nur an EINER Übungsaufgabe. Und bei ein paar Unteraufgaben verzweifle ich bald!

die 1. teilaufgabe:

$\begin{eqnarray*} \frac{2x}{\sqrt{\mid x^4-8 \mid}} \end{eqnarray*}$

soweit bin ich gekommen:

$\begin{eqnarray*} \frac{2\sqrt{\mid x^4-8 \mid}-2x\frac{1}{2}\mid x^4-8 \mid^{-\frac{1}{2}}+sgn(x^4-8)4x^3}{\mid x^4-8 \mid} \end{eqnarray*}$

die Lösung meiner Professorin:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{\sqrt{\mid x^4-8 \mid }} * (1- \frac{2x^4}{x^4-8}) \end{eqnarray*}$

die 2. teilaufgabe:

$\begin{eqnarray*} 2^{-x}*log_{2}\mid x \mid \end{eqnarray*}$

soweit bin ich gekommen:

$\begin{eqnarray*} 2^{-x}*(\frac{1}{ln2x}+ln2*log_{2}x) \end{eqnarray*}$

die Lösung meiner Professorin:

$\begin{eqnarray*} ln2 * 2^{-x}*(\frac{1}{x}-log_{2}\mid x \mid) \end{eqnarray*}$

die 3. teilaufgabe:

$\begin{eqnarray*} \frac{2x-\cos 2x}{2x+\cos 2x} \end{eqnarray*}$

soweit bin ich gekommen:

$\begin{eqnarray*} \frac{(2x+\sin 2x)(2x+\cos 2x)-(2x-\cos 2x)(2x-\sin 2x)}{(2x+\cos 2x)^{2}} \end{eqnarray*}$

die Lösung meiner Professorin:

$\begin{eqnarray*} 4*\frac{\cos 2x+2x \sin 2x}{(2x+\cos 2x)^{2}} \end{eqnarray*}$

ich hab jetzt nach 4 Stunden einfach keine Lust mehr Augenzwinkern

Dank im voraus

mfg David

19.02.2008, 16:58

Mazze

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zu Teilaufgabe 3 :

$\begin{eqnarray*} sin(2x)' = 2cos(2x) \end{eqnarray*}$ usw. (Kettenregel)

zu 2:

Den Betrag kann man nicht so einfach differenzieren weil er nunmal nicht differenzierbar ist. Du musst x < 0 und x > 0 gesondert betrachten. Dann schauste Dir beides mal an und siehst wie Du das ganze wieder mit einem Betrag schreiben kannst. Im Übrigen ist

$\begin{eqnarray*} 2^{-x} = ln(2)2^{-x}*(-x)' = -ln(2)2^{-x} \end{eqnarray*}$ (Kettenregel)

zu 1:

Hier musst Du $\begin{eqnarray*} x^4 < 8 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^4 - 8 > 0 \end{eqnarray*}$ betrachten und eigentlich müsstest Du (genau wie bei 2) den Linksseitigen und Rechtsseitigen Grenzwert gegen die Null im Betrag anschauen. Wie auch immer Du auf Deinen Ausdruck gekommen bist , weiss ich nicht aber ich krieg genau das was die Professorin will. Mal Beispielhaft für x^4 > 8

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{2x}{\sqrt{|x^4 - 8|}}\right)' = \left(\frac{2x}{\sqrt{x^4 - 8}}\right)' = (2x(x^4 - 8)^{-0.5})' = 2(x^4 - 8)^{-0.5} - x(x^4 - 8)^{-1.5}4x^3 = 2(x^4 - 8)^{-0.5}*(1 - 2x^4(x^4 - 8)^{-0.5}) \end{eqnarray*}$

Den Rest überlass ich Dir. Die Aufgabe ist prinzipiell nur konsequent Kettenregel anwenden und ausklammern.

19.02.2008, 17:04

kiste

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Zitat:

Original von Mazze
Im Übrigen ist

$\begin{eqnarray*} 2^{-x} = ln(2)2^{-x}*(-x)' = -ln(2)2^{-x} \end{eqnarray*}$ (Kettenregel)

Das bezweifle ich jetzt einfach mal Augenzwinkern

19.02.2008, 17:10

Mazze

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$\begin{eqnarray*} (2^{-x})' = (e^{ln(2^{-x})})' = (e^{-xln(2)})' = e^{-xln(2)}*(-xln(2))' = -ln(2)e^{ln(2^{-x})} = -ln(2)2^{-x} \end{eqnarray*}$

besser? Big Laugh

19.02.2008, 17:36

kiste

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aktzeptiert Big Laugh

19.02.2008, 19:00

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von kiste

Zitat:

Original von Mazze
Im Übrigen ist

$\begin{eqnarray*} 2^{-x} = ln(2)2^{-x}*(-x)' = -ln(2)2^{-x} \end{eqnarray*}$ (Kettenregel)

Das bezweifle ich jetzt einfach mal Augenzwinkern

Und was soll daran falsch sein?

19.02.2008, 19:11

kiste

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$\begin{eqnarray*} 2^{-x} = - \ln 2 \cdot 2^{-x} \Leftrightarrow 1 = - \ln 2 \end{eqnarray*}$

19.02.2008, 19:14

Mazze

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Aua, jetzt seh ich was Du meinst Hammer

19.02.2008, 20:14

Mathespezialschüler

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Ich sollte lesen lernen, danke kiste.

22.02.2008, 19:58

nme

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RE: Probleme mit Ableitungen

Zitat:

Original von nme
die 2. teilaufgabe:

$\begin{eqnarray*} 2^{-x}*log_{2}\mid x \mid \end{eqnarray*}$

soweit bin ich gekommen:

$\begin{eqnarray*} 2^{-x}*(\frac{1}{x*ln2}+ln2*log_{2}x) \end{eqnarray*}$

die Lösung meiner Professorin:

$\begin{eqnarray*} ln2 * 2^{-x}*(\frac{1}{x}-log_{2}\mid x \mid) \end{eqnarray*}$

Das Problem ist bei dieser aber, wie meine Professorin das $\begin{eqnarray*} x*ln2 \end{eqnarray*}$ aus dem Nenner bekommt.

22.02.2008, 21:30

Mazze

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Zitat:

Das Problem ist bei dieser aber, wie meine Professorin das $\begin{eqnarray*} x*ln2 \end{eqnarray*}$ aus dem Nenner bekommt.

Das Problem ist das Du falsch ableitest. Das ln(2) ist niemals im Nenner.

24.02.2008, 14:25

Mathespezialschüler

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$\begin{eqnarray*} \ln 2 \end{eqnarray*}$ ist niemals im Nenner? Also sorry, aber nme hat schon recht. Das ist auch nichts anderes als die aus der ca. 10. Klasse bekannte Formel

$\begin{eqnarray*} \log_ax=\frac{\ln x}{\ln a} \end{eqnarray*}$ .

Insofern hat wohl eher die Professorin einen Fehler begangen.

25.02.2008, 20:17

nme

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das war auch mein Problem. Denn in meiner Formelsammlung steht:

$\begin{eqnarray*} log_ax = \frac{1}{x*ln a} \end{eqnarray*}$

außer deine Ableitung ist anders Augenzwinkern

mfg

25.02.2008, 21:17

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von nme
$\begin{eqnarray*} log_ax = \frac{1}{x*ln a} \end{eqnarray*}$

Das ist falsch, da fehlt der Ableitungsstrich:

$\begin{eqnarray*} (\log_ax)'=\frac{1}{x\cdot \ln a} \end{eqnarray*}$ .

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