Funktionenscharen

20.02.2008, 14:20

6setzen

Auf diesen Beitrag antworten »

Funktionenscharen

Für jedes $\begin{eqnarray*} t element aus R+ \end{eqnarray*}$ ist durch $\begin{eqnarray*} f_{t}(x)=-\frac{1}{18}x^4+\frac{1}{3}x^3 \end{eqnarray*}$ eine Funktionsschar festgelegt.Die zugehörige parabel sei $\begin{eqnarray*} K_{t} \end{eqnarray*}$

a) Führe eine vollständige Kurvendiskussion für $\begin{eqnarray*} K_{t} \end{eqnarray*}$ durch.Zeichne $\begin{eqnarray*} K_{1} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} K_{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ in das selbe Koordinatensystem.

b) Untersuche, ob alle Schaubilder $\begin{eqnarray*} K_{t} \end{eqnarray*}$ gemeinsame Punkte haben.

c) Zeige, daß die Hochpunkte aller Parabeln auf dem Schaubild mit der Gleichung $\begin{eqnarray*} y=\frac{1}{54}x^4 \end{eqnarray*}$ liegen

d) Die Tangente im (von O verschiedenen) Wendepunkt von $\begin{eqnarray*} K_{t} \end{eqnarray*}$ bildet mit den Koordinatenachsen ein Dreieck. Bestimme seinen Flächeninhalt.

So ich habe jetzt dir Kurvendiskussion gemacht. Ich weiß nicht wie ich das zeichnen soll aber das ist auch nicht so wichtig.Man kann es wahrscheinlich schwer erklären.

Viel wichtiger ist das ich verstehe was ich bei b) c) und d) zu tun habe?
Fangen wir mal mit b) an:

Was müsste ich jetzt als erstes tun?
Und hat die Kurvendiskussion damit etw. zu tun? Wenn ja schreibe ich das noch hier rein.

Vielen dank im Vorraus.

20.02.2008, 14:22

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Du solltest aber noch verraten wo sich denn der Parameter t in der Funktionenschar versteckt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Edit:

Zitat:

Ich weiß nicht wie ich das zeichnen soll aber das ist auch nicht so wichtig.Man kann es wahrscheinlich schwer erklären.

Naja du musst eigentlich nur 1 bzw 1/2 für alle t's einsetzen und dann entsprechend die charakteristischen Punkte des jeweiligen Graphen einzeichnen und dann daraus die Graphen zeichnen.

20.02.2008, 14:24

6setzen

Auf diesen Beitrag antworten »

achso ja das ist natürlich kla.

$\begin{eqnarray*} f_{t}(x)=-\frac{1}{18}x^4+\frac{1}{3}tx^3 \end{eqnarray*}$

20.02.2008, 14:27

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Zu Aufgabe b)

Wie würdest du denn sonst immer gemeinsame Punkte berechnen wenn es z.B. darum geht die gemeinsamen Punkte einer Geraden und einer Parabel zu bestimmen ?

20.02.2008, 14:29

6setzen

Auf diesen Beitrag antworten »

ich würde sie gleichsetzen...also wenn ich die beiden Fnkt hätte. aber ich habe ja nur eine Fnkt.

20.02.2008, 14:30

Marie90

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

haste schon mal im MatheVZ geschaut? Da wird findest zu allem was.

Gruß

Anzeige

20.02.2008, 14:33

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, gleichsetzen ist richtig Freude

Freude

Das etwas ungewöhnliche ist hier bei einer Funktionenschar vielleicht dass man sich eben 2 beliebige Funktionen dieser Schar aussuchen muss und diese dann gleichsetzt.

Setze deshalb $\begin{eqnarray*} f_t(x)=f_s(x) \end{eqnarray*}$ und löse nach x auf.
Falls es eine Lösung gibt, die NICHT von s oder t abhängt, ist diese deine gesuchte Lösung bzw der Nachweis, dass unabhängig von s und t jeder Graph dieser Schar an dieser Stelle dieselbe y-Koordinate besitzt.

Björn

20.02.2008, 14:41

6setzen

Auf diesen Beitrag antworten »

hmm also

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{18}x^4+\frac{1}{3}sx^3=-\frac{1}{18}x^4+\frac{1}{3}tx^3 \end{eqnarray*}$
und nun nach x auflösen?

kann das richtig sein... oweia..SRY

wie würde ich denn sehen, dass die Funktion NICHT von s oder t abhängig ist?

20.02.2008, 14:43

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht nicht darum ob die Funktion von s oder t abhängt, sondern ob die Lösung für x nachher von s oder t abhängt. Deswegen sagte ich ja, dass duch diese Gleichung nach x auflösen sollst bzw deren Lösungen bestimmen musst.

Sowas wie x=2t+3 hängt z.B. von t ab

Sowas wie x=3 hängt nicht von t ab Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.02.2008, 14:46

6setzen

Auf diesen Beitrag antworten »

aber ist es richtig wie ich die Fnkt gleichgesetzt habe?
nicht das ich das jetz mache und alles Falsch ist.

ok das habe ich verstanden danke Mit Zunge

Mit Zunge

20.02.2008, 14:47

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

aber ist es richtig wie ich die Fnkt gleichgesetzt habe?
nicht das ich das jetz mache und alles Falsch ist.

Bis jetzt stimmt noch alles smile

smile

Schaffst du es nach x aufzulösen ?

20.02.2008, 14:51

6setzen

Auf diesen Beitrag antworten »

einen moment ich zeichne noch gerade $\begin{eqnarray*} K_{1} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} K_{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ .
danach fang ich direkt mit dem x auflösen an.

20.02.2008, 14:53

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Fleißig felißig smile

smile

Dann viel Erfolg Wink

Wink

20.02.2008, 15:03

6setzen

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok.

Hammer

Ich bekomme es nicht hin. Aber wie soll es auch funktionieren, denn abgesehen von den parametern ist die Funktion ja gleich.

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{18}x^4+\frac{1}{3}sx^3=-\frac{1}{18}x^4+\frac{1}{3}tx^3 \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}sx^3=\frac{1}{3}tx^3 \end{eqnarray*}$

wie soll ich denn jetz nach x auflösen?

20.02.2008, 15:07

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Ich bekomme es nicht hin. Aber wie soll es auch funktionieren, denn abgesehen von den parametern ist die Funktion ja gleich.

Du hast doch 2 verschiedene Parameter, dadurch entstehen auch für jeden Graphen verschiedne Extrempunkte, Nullstellen, Wendepunkte....etc

Zitat:

=> $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}sx^3=\frac{1}{3}tx^3 \end{eqnarray*}$

wie soll ich denn jetz nach x auflösen?

Alles auf eine Seite bringen und (1/3)x³ ausklammern.

20.02.2008, 15:11

6setzen

Auf diesen Beitrag antworten »

also

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}sx^3-\frac{1}{3}tx^3=0 \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}x^3(s-t)=0 \end{eqnarray*}$

und nun?

EDIT:

VLT

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}x^3 = \frac{1}{(s-t)} \end{eqnarray*}$

20.02.2008, 15:13

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Noch schöner wäre es wenn du wieder eine Gleichung daraus machen würdest smile

smile

Jetzt hast du faktorisiert, wann wird ein Produkt immer null ?

20.02.2008, 15:17

6setzen

Auf diesen Beitrag antworten »

wenn einer der beiden Faktoren null ist..

(ich weiß nicht wie die zwei heißen produkt ist doch von multiplikation oder-> also multiplikator Hammer

Hammer

? Keine ahnung egal)

ist mein EDIT richtig?

20.02.2008, 15:19

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Das nennt man einfach nur 1. Faktor und 2. Faktor smile

smile

Was in deinem Edit steht ist daneben.
Du hast doch schon vorher das richtige gesagt, nämlich wenn einer der beiden Faktoren null wird.

Deshalb setze doch auch jeden Faktor gleich null und schau was rauskommt.

20.02.2008, 15:22

6setzen

Auf diesen Beitrag antworten »

Also:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}x^3=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =>x=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (s-t)=0 \end{eqnarray*}$

So wie ich das jetzt verstanden hab ist die variable x nicht von den parametern abhängig das heißt ich hab bewiesen das alle Schaubilder von $\begin{eqnarray*} K_{t} \end{eqnarray*}$ , gemeinsame Punkte haben, da es egal ist was ich für t einsetze.? verwirrt

verwirrt

20.02.2008, 15:24

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}x^3=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =>x=0 \end{eqnarray*}$

Prima, genau...was sagt uns das für die Lösung der Aufgabe wenn du dich nochmal an die Unabhängigkeit der Lösungen von s und t zurückerinnerst ?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (s-t)=0 \end{eqnarray*}$

Kann das hier überhaupt gelten für 2 verschiedene s und t ?

20.02.2008, 15:29

6setzen

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (s-t)=0 \end{eqnarray*}$

Kann das hier überhaupt gelten für 2 verschiedene s und t ?

wieso was ist denn daran falsch..? also müsste da nur stehen

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}x^3=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =>x=0 \end{eqnarray*}$

und das $\begin{eqnarray*} (s-t)=0 \end{eqnarray*}$ lass ich weg... darf ich das denn?

antwort auf deine frage siehe mein EDIT

20.02.2008, 15:31

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Antwort auf die Frage ist richtig Freude

Freude

Durch welchen Punkt geht also jeder Graph dieser Schar ?

Zitat:

und das $\begin{eqnarray*} (s-t)=0 \end{eqnarray*}$ lass ich weg... darf ich das denn?

Weglassen nicht, aber evtl begründen dass diese Gleichung nur gelten kann wenn s=t gilt, wir aber ja 2 verschiedene Parameter s und t vorausgesetzt haben, wodurch diese Lösung nicht in Frage kommt und somit x=0 die einzige Schnittstelle der ganzen Graphen ist.

20.02.2008, 15:37

6setzen

Auf diesen Beitrag antworten »

Durch $\begin{eqnarray*} S(0;Y_{s}) \end{eqnarray*}$

wärst du vlt in ner halben Stunde noch da, weil ich MUSS jetzt mit meinem Hund gehen traurig

traurig

..

Wäre echt nett. Und ich weiß eigentl. schreibt man hier nicht so-is ja kein chatroom, aber ich brauch echt noch hilfe und du kannst gut erklären...

20.02.2008, 15:39

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja die Y-Koordinate kann man doch durch Einsetzen auch angeben =)

20.02.2008, 15:40

6setzen

Auf diesen Beitrag antworten »

also S ( 0 ; 0 )

ja das war echt nicht schwer ^^

20.02.2008, 15:42

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau =)

Auf zur nächsten Aufgabe ?

20.02.2008, 15:44

6setzen

Auf diesen Beitrag antworten »

bist du noch da in ner halben stunde?
weil mein hund.....(EDIT)
Dann bin ich nämlich auch bereit für die nächste Aufgabe Big Laugh

Big Laugh

Wäre echt soooooooooooooooooooooo nett.

20.02.2008, 15:46

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Joa....schauen wir mal smile

smile

Selbst wenn ich nicht mehr da sein sollte wird dir bei deiner vorbildlichen Miarbeit bestimmt auch von anderen gerne geholfen...hast du ganz prima gemacht Wink

Wink

Bis dann

20.02.2008, 16:03

6setzen

Auf diesen Beitrag antworten »

ok ich wäre bereit für aufgabe c)

müsste ich da jetz mit der notwendigen bdeingung und der hinreichenden bedingung eines HP rechenen ?

20.02.2008, 16:08

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Du brauchst eigentlich nur den Hochpunkt dazu - wie lautet er bei dir ?

20.02.2008, 16:21

6setzen

Auf diesen Beitrag antworten »

also der aus der kurvendiskussion?

der ist $\begin{eqnarray*} H(\frac{9}{2}t;Y_{h}) \end{eqnarray*}$

dazu muss ich sagen das wir den hochpunkt mit unserm lehrer im Unterricht gemacht haben und er uns genau das als lösung gegeben hatte.

Ich besitze zum glück das Lösungsbuch und da Steht $\begin{eqnarray*} H(\frac{9}{2}t;\frac{3}{2}^5t^4) \end{eqnarray*}$ . Doch mein Leher wird ja schon seinen Grund haben warum er uns das nicht gesagt hat..Oder siehst du das anders..

Könnte man es denn mit dem Sperrlichem HP von meinem Lehrer auch ausrechnen?

20.02.2008, 16:41

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Gehört diese hoch 5 zum ganzen Bruch oder nur zum Zähler ?

20.02.2008, 16:46

6setzen

Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe jetzt einfach bei meiner Kurvendiskussion ein bisschen weiter gerechneet und bin auch zu dem Hochpunkt $\begin{eqnarray*} H(\frac{9}{2}t;\frac{3}{2}^5t^4) \end{eqnarray*}$ gekommen.

nun was muss ich jetz als nächstes machen?

EDIT

sie gehört zum ganzen Bruch doch ich habe die klammern irgendwie nicht hinbekommen

EDIT

das heißt ich habe jetzt $\begin{eqnarray*} x=\frac{9}{2}t \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=\frac{3}{2}^5t^4 \end{eqnarray*}$

20.02.2008, 16:53

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, also muss das 243/8 sein.

Also gilt dann für die x- und y-Koordinate des Hochpunktes:

x= 4,5t

y= (243/8)t^4

Löst du jetzt die 1. Gleichung nach t auf und setzt das Ergebnis in die 2. Gleichung für t ein erhälst du die gesuchte Ortskurve, durch die alle Hochpunkte verlaufen.

20.02.2008, 16:55

6setzen

Auf diesen Beitrag antworten »

das ist logisch

aber was ist denn eine Ortskurve?
und wie würde ich das meinem Lehrer erklären aus welchem grund ich die erste gleichung aufgelöst hab nach t und in die 2 eingesetzt habe..

ich meine ich will die hausaufgaben zwar haben ich will sie aber auch verstanden haben ^^ SRY Big Laugh

Big Laugh

Gott

20.02.2008, 16:59

6setzen

Auf diesen Beitrag antworten »

ich glaube eher das $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2}^5 \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{243}{32} \end{eqnarray*}$ sind

20.02.2008, 16:59

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Ortskurve heisst sowas halt...weiss auch nicht warum....wahrscheinlich weil jeder Punkt dieser Kurve einen Ort des Hochpunktes jedes Graphen der gegebenen Schar wiederspiegelt.

Indem du in der 1. Gleichung t durch x aucdrückst und das in die 2. Gleichung einsetzt erhälst du sozusagen eine neue Funktion, deren Graph dann aus allen Hochpunkten der Schar besteht.

Edit: Genau, habe mich vertan, entschuldige

20.02.2008, 17:04

6setzen

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok verstanden ich kanns ja auch im I-net nachlesen....
würdest du mir noch bei der d) helfen? oder keine lust mehr?

20.02.2008, 17:17

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Klar, können wir gerne machen...bin halt nur nicht immer am PC.
Antworte dir aber gerne wenn ich da bin smile

smile

Edit:

Für Aufgabe d) musst du eine Tangenten aufstellen, die durch die Wendepunkte der Schar verläuft.

Die Steigung dieser Tangente berechnet man durch Einsetzen der Wendestelle in die 1. Ableitung. Durch Einsetzen des Wendepunktes erhälst du den y-Achsenabschnitt der Tangentenfunktion t(x)=mx+b

Soweit klar ?

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »