Kurvenintegral (Fundamentalintegral?)

20.02.2008, 17:30

René Schwarz

Kurvenintegral (Fundamentalintegral?)

Hallo,

zur Vorbereitung einer Klausur rechne ich gerade eine alte Klausuraufgabe.

Zitat:

a) (1) Berechnen Sie das Kurvenintegral $\begin{eqnarray*} \int_C { {3} \over {z -1}}{dz} \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} C = \end{eqnarray*}$ Kreis mit Mittelpunkt 1, Radius $\begin{eqnarray*} r > 0 \end{eqnarray*}$

(2) Hängt das Ergebnis von $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ ab? (Begründung)

(3) Wie parametrisiert man den Kreis $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ im Komplexen?

(4 )Wie kann man dieses Kurvenintegral noch auswerten (Stichpunkte), vergleichen Sie Ihre Ergebnisse.

b) Berechen Sie das Kurvenintegral $\begin{eqnarray*} \int_C {\left( e^{2z} + 5z^2 \right)}{dz} \end{eqnarray*}$ (wie in a)

Für Teilaufgabe a) würde ich die folgenden Lösungen ansetzen:

(1) Fundamentalintegral

$\begin{eqnarray*} \int_C {{ \left( z- z_M \right) }^n } = \begin{cases} n \in \mathbb R \backslash \{ -1 \}: & 0 \\ n=-1: & 2 \pi j \end{cases} \end{eqnarray*}$

Da wir den Faktor 3 vor dem Fundamentalintegral stehen haben (aufgrund der Aufgabe) und unser $\begin{eqnarray*} n=-1 \end{eqnarray*}$ ist, ist das Ergebnis $\begin{eqnarray*} 6 \pi j \end{eqnarray*}$ .

(2) Das Ergebnis hängt nicht von $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ ab, da in der Berechnung der Werte des Fundamentalintegrals keine Rolle spielt ( $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ kürzt sich bei der Integration).

(3) $\begin{eqnarray*} z(t) = z_M + r \cdot e^{jt}, & t=[0; 2 \pi) \end{eqnarray*}$

(4) Das Kurvenintegral könnte man über die direkte Integration auswerten. (Den Schritt gebe ich jetzt nicht über Latex ein.)

b) Würde ich versuchen zu integrieren nach folgenden Satz:

$\begin{eqnarray*} \int_C {f(z)} dz = \int \limits_{\alpha}^{\beta} {f(z(t)) \cdot \frac{dz}{dt}} dt \end{eqnarray*}$

Nachdem ich das tue komme ich auf das folgende, komme aber nicht weiter.

$\begin{eqnarray*} \int_C {\left( e^{2z} + 5z^2 \right)} dz = rj \cdot \int\limits_{0}^{2\pi} {\left( e^2 + e^{2re^{jt}} + e^{jt} \right) } dt + 5rj \cdot \int \limits_{0}^{2 \pi} {\left( e^{jt} + 2re^{2jt} + r^2 \cdot e^{4jt} \right) } dt \end{eqnarray*}$

Ich kann mir nicht vorstellen, dass diese Aufgabe so umfangreich sein soll, denn es gibt nur wenig Punkte.

Über eure Hilfe würde ich mich sehr freuen.

Grüße,
René

20.02.2008, 17:44

kiste

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1-4 ist korrekt.
Bei b) ist das Integral nach dem Cauchyschen Integralsatz 0

20.02.2008, 19:31

system-agent

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RE: Kurvenintegral (Fundamentalintegral?)

Zitat:

Original von René Schwarz
Hallo,

(4) Das Kurvenintegral könnte man über die direkte Integration auswerten.

Genau das kann man wohl in den meisten Fällen nicht so einfach. Prinzipiell hast du natürlich Recht, aber von der praktischen Seite her gesehen. Da hilft die schon erwähnte Integralformel doch ziemlich.

20.02.2008, 21:39

René Schwarz

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Vielen Dank für eure Antworten.

Dachte ich es mir doch, dass es einfacher geht Hammer

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Kurvenintegral (Fundamentalintegral?)

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