Extremalproblem

20.02.2008, 17:53	pointparticle	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremalproblem Ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe: Man hat eine Gleichung $\begin{eqnarray} x^2 + 4 y^2 = 4 \qquad \text{(Ellipse)} \end{eqnarray}$ gegeben und man soll alle Punkte (die diese Gleichung erfüllen) angeben, die den kürzesten Abstand vom Punkt (c,0) mit 0 < c < 2 haben. Ich hab foglende Funktion definiert: $\begin{eqnarray} f(x,y)=\sqrt{(x-c)^2+y^2} \end{eqnarray}$ Die Gleichung (oben) kann man als eine Nebenbed. formulieren: $\begin{eqnarray} g(x,y):=x^2+4y^2-4 = 0 \end{eqnarray}$ . Nun schaut man die Gleichung $\begin{eqnarray} grad f = \lambda grad g \end{eqnarray}$ an und erhält somit zwei Gleichungen (mit Langrange-Multiplikator). Jetzt muss man aber die Punkte finden, die diese beiden Gleichungen erfüllen und dort erhalte ich $\begin{eqnarray} (\pm 2, 0) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (c, \pm \sqrt{1-c^2/4} \end{eqnarray}$ . Mein Problem ist jedoch, dass dies nicht alle Punkte sind. Wie finde ich diese? Die Gleichungen sind schließlich nicht so trivial. Bzw. gibt es eine andere Möglichkeit die ganze Aufgabe zu lösen? Vielen Dank schon mal.
20.02.2008, 19:18	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Betrachte lieber $\begin{eqnarray} f(x,y)=(x-c)^2+y^2 \end{eqnarray}$ . Wurzeln sind so unangenehm
20.02.2008, 21:15	Tomtomtomtom	Auf diesen Beitrag antworten »
1.) Hör auf Therisen. 2.) Du brauchst hier ausnahmsweise keine Lagrangemultiplikatoren nehmen, da die Nebenbedingung z.B. eine eindeutige Auflösung nach y² besitzt, also stell einfach nach y² um und setz das in die Zielfunktion ein. Dann hast du nur noch eine Variable. 3.) Was meinst du mit "das sind nicht alle Punkte"? Ich kann mir grad keinen Punkt vorstellen, in dem der Gradient noch irgendwie 0 werden kann.
20.02.2008, 23:39	pointparticle	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für eure Hilfe

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