Konvergenz TAYLOR-Reihe

29.08.2005, 18:18

yeti777

Konvergenz TAYLOR-Reihe

Hallo zusammen!

Die Funktion $\begin{eqnarray*} g(x)=ln(x+\sqrt{1+x^2}) \end{eqnarray*}$ ist im Punkt $\begin{eqnarray*} x_0= 0 \end{eqnarray*}$ in eine TAYLOR-Reihe zu entwickeln.
Gesucht: Konvergenzintervall.

Die Definition der TAYLOR-Reihe lautet:
Für eine beliebig oft differenzierbare Funktion $\begin{eqnarray*} f:\,I \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_0\in I \end{eqnarray*}$ heisst die Potenzreihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty ~ \frac{f^{(n)} ( x_0)}{x!} (x- x_0 )^k \end{eqnarray*}$

mit dem Entwicklungszentrum $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ die TAYLOR-Reihe von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ .

Die ersten Glieder der TAYLOR-Reihe lauten:
$\begin{eqnarray*} T(x)= \sum_{k=0}^\infty~x - \frac{1}{6} x^3+ \frac{3}{40} x^5- \frac{5}{112} x^7+ \frac{35}{1152} x^9- .... \end{eqnarray*}$

Mit der Substitution $\begin{eqnarray*} \zeta= x^2 \end{eqnarray*}$ will ich das Quotientenkriterium (wegen den Fakultäten) anwenden. Ich kann aber das Bildungsgesetz für das $\begin{eqnarray*} n-te \end{eqnarray*}$ Glied nicht erkennen.

Vermutung 1: Die Reihe ist absolut konvergent im offenen Intervall (-1,1), das sie eine Minorante der geometrischen Reihe darstellt.

Vermutung 2: Die Reihe ist auch auf dem Rand $\begin{eqnarray*} x\in \{ - 1\,,+ 1\} \end{eqnarray*}$ konvergent, da die Koeffizienten monoton abnehmen und die Reihe alternierend ist (LEIBNIZ-Kriterium).

Vermutung 3: Für $\begin{eqnarray*} x>1 \end{eqnarray*}$ ist die Reihe divergent.

Unabhängig von Vermutungen und Absichten, wie gehe ich am besten vor?

Gruss yeti

29.08.2005, 20:49

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Yeti!
Einmal muss ein $\begin{eqnarray*} k! \end{eqnarray*}$ anstelle eines $\begin{eqnarray*} x! \end{eqnarray*}$ stehen und dann muss unten noch ein Summenzeichen weg. Augenzwinkern

Zu all deinen Fragen: Leite deine Funktion ab, entwickle die Ableitung in einen Potenzreihe und zwar mithilfe der Binomialreihe, die auch gleich den Konvergenzbereich angibt, und integriere. Augenzwinkern

Gruß MSS

30.08.2005, 13:42

yeti777

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Mathespezialschüler!

Danke für deine Hilfe smile

! Also die zwei Fehler in meinen Formeldarstellungen sind geradezu läppisch. Abschreiben sollte man schon noch können Hammer

!

Aber jetzt möchte ich gerne deinen Hinweis befolgen und den Konvergenzradius bestimmen:
Gegebene Funktion: $\begin{eqnarray*} f(x)=ln(x+\sqrt{1+x^2}) \end{eqnarray*}$

Erste Ableitung: $\begin{eqnarray*} f'( x)= \frac{1}{ \sqrt{1+ x^2} } \end{eqnarray*}$

TAYLOR-Entwicklung: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{ \sqrt{1+ x^2} }= 1- \frac{1}{2} x^2+ \frac{3}{8} x^4- \frac{5}{16} x^6+ \frac{35}{128} x^8- ... \end{eqnarray*}$

Substitution: $\begin{eqnarray*} \zeta := x^2 \end{eqnarray*}$ , damit das Quotientenkriterium angewandt werden kann. Ergibt:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{ \sqrt{1+ \zeta} }= 1- \frac{1}{2} \zeta+ \frac{3}{8} \zeta^2- \frac{5}{16} \zeta^3+ \frac{35}{128} \zeta^4- ... \end{eqnarray*}$

Nachschlagen in einem Handbuch für Mathematik gemäss deinem Hinweis ergibt, dass es sich hier um die BINOM'sche Reihe handelt, also:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{ \sqrt{1+ \zeta} }= 1- \frac{1}{2} \zeta+ \frac{3}{8} \zeta^2- \frac{5}{16} \zeta^3+ \frac{35}{128} \zeta^4- ... = \sum_{k=0}^\infty~{\alpha \choose k} \zeta^{k} \end{eqnarray*}$

In diesem speziellen Fall ist $\begin{eqnarray*} \alpha= - \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ . Anwendung des Quotientenkriteriums ergibt:
$\begin{eqnarray*} | \frac{a_n}{a_{n+1} } |= |\frac{\alpha ( \alpha - 1)...( \alpha - n+ 1)}{n! } \frac{( n+ 1) !}{\alpha ( \alpha - 1)...( \alpha - n)} |= | \frac{n+ 1}{\alpha - n} |\Rightarrow \lim_{n \to \infty} | \frac{n+ 1}{\alpha - n} | = \mid - 1 \mid = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Der Konvergenzradius der $\begin{eqnarray*} \zeta \end{eqnarray*}$ - Reihe ist $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ . Jetzt folgt Rücksubstitution $\begin{eqnarray*} \zeta= x^2 \end{eqnarray*}$ und gliedweise Integration nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Die gliedweise Integration ist erlaubt, weil Potenzreihen innerhalb ihres Konvergenzintervalls gleichmässig konvergieren. Man erhält:
$\begin{eqnarray*} f(x)=ln(x+\sqrt{1+x^2}) = x- \frac{1}{6} x^3+ \frac{3}{40} x^5- \frac{5}{112} x^7+ \frac{35}{1152} x^9- ... \end{eqnarray*}$

Gemäss einem Satz der Analysis hat die integrierte Reihe denselben Konvergenzradius wie die Ausgangsreihe. Also lautet auch hier die Konvergenzbedingung $\begin{eqnarray*} \mid x \mid \,< 1 \,,\,( \,\mid x \mid \,< 1 \,\Leftrightarrow\,\mid x^2 \mid \,< 1\,) \end{eqnarray*}$ .

Letzte Frage: Wie ist die Konvergenz auf den Rändern $\begin{eqnarray*} x\in \{ - 1\,,\,+ 1\} \end{eqnarray*}$ ?

Mathespezialschüler, ich möchte dir noch einmal für deine Hilfe danken. Du hast nicht nur geholfen, diese Aufgabe zu lösen, sondern du hast mich auch auf den Trick mit dem Ableiten und auf die vielen Ausprägungen der BINOM'schen Reihe aufmerksam gemacht. Ein echter Gewinn für mich smile

.

Gruss yeti

30.08.2005, 22:12

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo nochmal.
Ich glaube, mich erinnern zu können, dass du den Heuser zu Hause rumliegen hast. Augenzwinkern

Zur Konvergenz in den Randpunkten kann ich sagen, dass deine Taylorreihe in $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ konvergiert und in $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ divergiert. Siehe Heuser Abschnitt 65, 4. Beispiel. (Bei mir in einer neueren Ausgabe ist es S. 382.) Falls ich mich geirrt habe, könnte ich das hier auch noch schnell etwas gekürzt auf das Beispiel angewendet darstellen. Augenzwinkern

Gruß MSS

30.08.2005, 23:26

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Übrigens, zumal du Namen in Großbuchstaben zu schreiben scheinst: Entweder du hast eine ganz spezielle Art der Selbstironie, die mir sehr gefällt, oder du kennst die wahre Identität des Herrn BINOMI nicht. smile

31.08.2005, 16:41

yeti777

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss es wieder einmal ganz laut sagen: Ihr seid einfach ganz nette und sympathische Kerle smile

. Als Ingenieur in einem Umfeld lebend, wo der indirekte Dreisatz bereits als höhere Mathematik definiert wird und wo man das Integral nur noch vom Hörensagen kennt, ist es für mich erfrischend und belebend, hier im Matheboard mitmachen zu dürfen! Soviel zur Lobhudelei!

@MSS: Scharfes Gedächtnis! Ich habe die Stelle im HEUSER gefunden. Die BINOMIAL-Reihe hat's wirklich in sich. Hier nochmals die Zusammenstellung: $\begin{eqnarray*} ( 1+ x )^\alpha = \sum_{k=0}^\infty~{\alpha \choose k} x^k\,,\text{wenn} \begin{cases} \mid x \mid \,<\,1, \\ x = - 1&\mbox{und}\,\,\, \alpha \,>\,0, \\ x = 1&\mbox{und}\,\,\, \alpha \,>\, - 1\end {cases} \end{eqnarray*}$

In allen anderen Fällen divergiert die Reihe. Danke für den Tip!

@sqrt(2): Du hast einen scharfen Blick! Beides trifft zu, aber hier mehr das Letztere. Ich wusste nichts von der Existenz von Herrn BINOMI. Habe den Artikel natürlich gleich runterkopiert. Man lernt nie aus! Dank! Aber wart mal, hat nicht NEWTON die BINOMIsche Reihe entdeckt???

Herzliche Grüsse

yeti

31.08.2005, 16:58

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von yeti777
Aber wart mal, hat nicht NEWTON die BINOMIsche Reihe entdeckt???

Ja, aber ohne die grandiose Vorarbeit des Herrn BINOMI wäre er völlig aufgeschmissen gewesen...

Neue Frage »

Antworten »

Konvergenz TAYLOR-Reihe

Verwandte Themen