Tangente an einer Kugel

20.02.2008, 20:08	Tobi&Andree	Auf diesen Beitrag antworten »
Tangente an einer Kugel Hallo, ich bereite mich gerade auf eine Klausur vor und komme bei einem Aufgabentyp nicht weiter. Es geht darum, dass eine Kugel und eine Gerade bekannt sind. Die Gerade ist eine Sekante der Kugel. Es soll nun eine Tangente zur Kugel erstellt werden, die parallel zur Sekante ist, also den Radius als Abstand vom Kugelmittelpunkt haben. k: (\vec{x} - \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} )^2 = 9 g: \vec{x} \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} Danke fuer eure Hilfe Gruß
20.02.2008, 20:09	Tobi&Andree	Auf diesen Beitrag antworten »
sry fuer den Doppelpost aber als Gast kann man leider nicht Editiere. Hier das ganze nochmal mit Formeln $\begin{eqnarray} k: (\vec{x} - \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} )^2 = 9 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g: \vec{x} \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
20.02.2008, 20:36	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
der 1. schritt: bestimme den schnittpunkt S von g und der zu g senkrechten geraden durch M, damit hast du auch einen geeigneten normalenvektor $\begin{eqnarray} \vec{n} \end{eqnarray}$ für schritt 2. $\begin{eqnarray} (\begin{pmatrix} 5\\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} +\lambda\begin{pmatrix} 1 \\ -1\\ 4 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} )\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} =0 \end{eqnarray}$ der 2. schritt: bestimme die berührpunkte $\begin{eqnarray} \overrightarrow{OB}_{1,2}=\overrightarrow{OM}\pm\frac{r}{\|\vec{n}\|}\cdot\vec{n} \end{eqnarray}$ 3.) stelle diese beiden tangenten auf. so würde ich es versuchen zusatz: es gibt natürlich noch eine ganze menge solcher tangenten, deren berührpunkte wo liegen das wäre also die alternative: E durch M mit den richtungsvektor der geraden als normalenvektor von E ..........
20.02.2008, 23:27	Tobi&Andree	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi,.. kannst du mir noch erklaere, wofuer ich den Schnittpunkt aus Schritt 1 brauche? Komme da gerade nicht weiter Gruß
20.02.2008, 23:51	Louisa	Auf diesen Beitrag antworten »
ich würde diesen schnittpunkt nicht berechnen... eine tangente an die kugel muss den gleichen normalenvektor haben, wie die sekante, damit beide parallel sind... also würde ich damit anfangen, mit hilfe des skalarprodukts einen normalenvektor zum richtungsvektor von g zu suchen..weißt du wie das geht?
21.02.2008, 00:05	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
aus der 1. gleichung - das ist ja das skalarprodukt - bekommst du $\begin{eqnarray} \lambda=-\frac{3}{2}\to S(3.5/0.5/-3)\to \vec{n}=(1,1,0)^T \end{eqnarray}$ dazu eben der schnittpunkt
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21.02.2008, 00:12	Louisa	Auf diesen Beitrag antworten »
mh vllt rechnen wir unterschiedlich, aber zu was soll dein n denn ein normalenvektor sein?
21.02.2008, 00:22	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn du mir dafür verrätst, was der normalenvektor einer sekante ist und im ernste: alle gesuchten tangenten bilden einen zylindermantel und berühren die kugel im schnittkreis mit der zur sekante senkrechten ebene. daher lautet die/eine gleichung aller tangenten: $\begin{eqnarray} \vec{x} =\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} +\frac{3}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} cos\alpha +\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} sin\alpha +\lambda\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \alpha=0 \end{eqnarray}$ bekommst du die von mir oben angegebene lösung für $\begin{eqnarray} \alpha=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ hast du den hübscheren berührpunkt $\begin{eqnarray} B(0/1/-2) \end{eqnarray}$ jetzt stehen ja genügend geeignete vektoren herum

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