Koordinatengleichung einer Ebene bestimmen

20.02.2008, 21:00

PJ1

Koordinatengleichung einer Ebene bestimmen

Hallo! Habe folgende Aufgabe mit der ich nicht klar komme :-(

Gegeben sind die Punkte $\begin{eqnarray*} A_t (2*t+2; 0; 0) B_t(0; 2+ \frac{2}{t}; 0) \end{eqnarray*}$ !
t>0!

Die Aufgabe dazu lautet:
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene Ft , die die Punkte At und Bt enthält und parallel zur z-Achse verläuft!

Weiß nicht wie ich das machen soll!

Danke für Eure Hilfe!

20.02.2008, 21:49

Bjoern1982

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Eine Parameterform würde sich hier anbieten.
Durch A und B erhälst du schonmal einen Stütz und Spannvektor.
Da die Ebenenschar parallel zur z-Achse verlaufen soll, kann man als 2. Spannvektor z.B. den Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ nehmen.

Und das dann in Koordinatenform umformen.

Gruß Björn

20.02.2008, 22:42

PJ1

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Danke dir! Werde mich bei weiteren Problemen erneut melden!

20.02.2008, 23:29

Bjoern1982

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Hmm, ich sehen gerade dass man durch die beiden gegebenen Spurpunkte auch mit folgendem Ansatz weiterkommt, denn nach der Achsenabschnittsform für die Spurpunkte (a/0/0) ; (0/b/0) und (0/0/c) gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{a} +\frac{y}{b} +\frac{z}{c} =1 \end{eqnarray*}$

Da es aufgrund der Parallelität zur z-Achse keinen 3. Spurpunkt gibt kann man den letzten Summanden weglassen und erhält dann nach dem Einsetzen durch Multiplikation mit dem Hauptnenner die gesuchte Koordinatengleichung.

Gruß Björn

21.02.2008, 13:44

PJ1

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also ich würde das da so machen:

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{2t+2} + \frac{y}{2+ \frac{2}{t}} = 1 \end{eqnarray*}$

und nun den hauptnenner...

$\begin{eqnarray*} (2+ \frac{2}{t})x + (2t+2)y = 1* (2+ \frac{2}{t}) + (2t+2) \end{eqnarray*}$

oder?

wie mach ich nun weiter???

21.02.2008, 14:32

Bjoern1982

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Joa das wars schon Augenzwinkern

Auf der rechten Seite könnte man noch die Klammern auflösen aber ansonsten geht das in diesem Spezialfall eben so schnell smile

Edit:

Wobei ich gerade sehe, dass auf der rechten Seite natürlich ein Multiplikationszeichen und kein Additionszeichen zwischen den Klammern stehen muss.

21.02.2008, 14:44

PJ1

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Ich soll dann in der nächsten Aufgabe jedoch die Schnittgerade der Ebene, wie oben, mit der Ebene F2 bestimmen...Wie kann ich das tun, wenn Rechts dieser Ausdruck steht?

21.02.2008, 14:54

Bjoern1982

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Das würde ja so gesehen noch gar keinen Sinn machen weil du ja dann ALLE Ebenen der Schar mit EINER Ebene der Schar schneiden würdest.
Und was haben eine spezielle Ebene und ALLE Ebenen der Schar gemeinsam ?
Na diese spezielle Ebene, keine Gerade oder sowas.

Möglicherweise schneiden sich alle Ebenen der Schar in einer Schnittgeraden, wodurch man sich einfach zwei Ebenen rauspicken könnte (z.B. für t=1 und t=2) um von diesen dann repräsentativ die Schniitgerade zu bestimmen.

Wie lautet denn die genaue Aufgabenstellung bzw der genaue Wortlaut ?

21.02.2008, 15:03

PJ1

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http://img252.imageshack.us/img252/7792/foto12xm3.jpg

21.02.2008, 15:06

Bjoern1982

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Aaah, da steht ja etwas von t ungleich 2.
Dann mache es so, wie oben erwähnt, weil dann kannst du dir ein t aussuchen für die zweite Ebene der Schar.

Edit:

Habe nochmal drüber geschaut:

Wenn du es allgemein lösen willst würde ich die Ebenengleichung $\begin{eqnarray*} F_2 \end{eqnarray*}$ nach x auflösen und das dann in $\begin{eqnarray*} F_t \end{eqnarray*}$ einsetzen und nach y auflösen.
Daran sollte dann am Ende bezüglich des t etwas auffallen.

21.02.2008, 15:40

PJ1

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Habe nun die Ebenen F1 und F2 "gleichgesetzt" ...

Ich bekomme für x und y jeweils 2 heraus!

Ich hatte Vektorrechnung zu Schuljahresbeginn und hab keine Ahnung mehr davon.
Wie mach ich daraus nun die Schnittgerade?

(Denkst du, dass ich eine allgemeine Schnittgerade angeben muss?)

21.02.2008, 15:46

Bjoern1982

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Ich erhalte dieselben Lösungen smile

Zitat:

(Denkst du, dass ich eine allgemeine Schnittgerade angeben muss?)

Ja, mache das ruhig mal allgemein wie ich dir das beschrieben.
Die Aufgabenstellung lässt doch vermuten, dass man schlussfolgern soll was man daraus folgern kann wenn man ALLGEMEIN ansetzt.

Du wirst dadurch auch dasselbe Ergebnis erhalten, soviel nehme ich jetzt einfach mal vorweg, denn das t wird wegfallen. Aber rechne es ruhig mal allgemein nach.

Dass du x=y=2 erhälst, was ja nicht sonderlich an eine Schnittgerade erinnert hängt damit zusammen, dass wir ja schon als "Ebene" $\begin{eqnarray*} F_t \end{eqnarray*}$ eine Gerade haben, denn es gibt ja lediglich 2 Koordinaten (x und y) und nach y umgeformt hätte man somit eine Geradenschar. Also schneidet man im Endeffekt 2 Geraden miteinander und folglich gibt es keine Schnittgerade sondern einen Schnittpunkt - und der lautet eben (2/2) unabhängig von t - alle Geraden dieser Schar verlaufen also durch diesen Punkt.

21.02.2008, 15:49

PJ1

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Irgendwie verhaspel ich mich bei der allgemeinen.... traurig

21.02.2008, 15:50

Bjoern1982

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Nicht weinen =)

Wo klemmts denn ?

Schreib doch mal wie weit du kommst (Und denke daran dass du da oben noch einen Fehler mit dem Additionszeichen hattest).

21.02.2008, 16:00

PJ1

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Also zunächst:

x+3y=6
x=6-3y

---------
$\begin{eqnarray*} (2+ \frac{2}{t}) * (6-3y) + (2t+2)y = (2+ \frac{2}{t}) * (2t+2) \end{eqnarray*}$

-->

$\begin{eqnarray*} 12-6y + \frac{12}{t} + \frac{6y}{t} +2 ty + 2y = 4t+8 + \frac{4}{t} \end{eqnarray*}$

Kann natürlich sein, dass hier schon Fehler sind, aber weiter komm ich sowieso nicht!
Würde jetzt alles | * t nehmen, aber weiter weiß ich nicht...

21.02.2008, 16:02

Bjoern1982

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Oben hast du dich schon vertan.

Die Ebene $\begin{eqnarray*} F_2 \end{eqnarray*}$ muss x+2y=6 lauten.

21.02.2008, 16:13

PJ1

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$\begin{eqnarray*} 4t+8-2ty-4y+2t²y=4t² \end{eqnarray*}$

Wie mache ich jetzt weiter?

21.02.2008, 16:17

Bjoern1982

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Bringe alle y auf eine Seite, klammere y aus und dividiere am Ende durch die Klammer.

21.02.2008, 16:20

PJ1

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y = 2t + 2 -2t² = y ?

21.02.2008, 16:23

Bjoern1982

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Lies nochmal in Ruhe was ich gerade geschrieben habe.

21.02.2008, 16:34

PJ1

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$\begin{eqnarray*} y= \frac{4t² - 4t -8}{2t²-2t-4} \end{eqnarray*}$

Oder?

21.02.2008, 16:39

Bjoern1982

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Richtig, und jetzt klammere mal 2 im Zähler aus und schau was passiert Augenzwinkern

21.02.2008, 16:48

PJ1

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y= 2 ?

21.02.2008, 17:03

Bjoern1982

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Genau, und das sollte ja auch rauskommen Augenzwinkern

21.02.2008, 17:04

PJ1

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Also lautet die Schnittgerade sozusagen schlicht und einfach

y = 2 ?

21.02.2008, 17:06

Bjoern1982

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Eine Lösung für x gibt es ja auch noch.

Der Rest steht alles schon in meinem Beitrag von 15:46

21.02.2008, 17:29

PJ1

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Ok .. Danke für deine Hilfe!
Ich möchte dich ja nicht zu sehr stressen, doch könntest du mir bei Aufgabe d) und e) behilflich sein?

zu d)

E : z=3
F2: 3x+6y = 18

Was tun, wenn ich die Schnittgerade dieser beiden möchte?
Was tun, wenn ich die Schnittgeraden mit den Koordinatenebenen möchte? (Erst die Parametergleichungen erstellen?)

21.02.2008, 17:42

Bjoern1982

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Du stresst mich schon nicht Augenzwinkern

Auf Parameterformumformungen kannst du hier verzichten - es geht einfacher.

Erstmal zu der Schnittgeradenberechnung der beiden Ebenen:

Löse F nach x auf und stelle dann 3 Gleichungen untereinander für x,y und z auf, wobei auf den rechten Seiten dieser Gleichung nur eine Variable (hier nur y) oder Zahlen vorkommen dürfen. Wenn du das hast verrat ich dir nen Trick Big Laugh

21.02.2008, 17:45

PJ1

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meisnt du F2 nach x auflösen?

21.02.2008, 17:48

Bjoern1982

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21.02.2008, 17:51

PJ1

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F2: x= 6-2y
y=3-1/2x

E: z= 3

???? verwirrt

21.02.2008, 17:58

Bjoern1982

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Naja ok ich dachte mir dass du meinen Hinweis mit der einen Variable auf der rechten Seite nicht beachtest...aber nicht so schlimm =)

x=6- 2y
y=0+1y
z=3+0y

Hier kannst du eine Geradengleichung ablesen:

$\begin{eqnarray*} g:\vec{x} =\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}+y\cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Analog geht das auch gleich mit dem Schnitt von E bzw $\begin{eqnarray*} F_2 \end{eqnarray*}$ mit den Koordinatenebenen. Es gibt 3 Koordinatenebenen, nämlich eine, die x und y-Achse aufspannen, eine die x und z-Achse aufspannen und eine, die y- und z-Achse aufspannen.

Eine Koordinatengleichung der Ebene, die von der x und y-Achse aufgespannt wird lautet z=0 (weil die z-Koordinate auf jeden fall null sein muss)
Analog sehen die anderen Koordinatenebenen aus.

Kannst du mir folgen ?

21.02.2008, 18:05

PJ1

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Könntest du mir ein bzw DAS Beispiel für die z-Ebene (z=0) für F2 und E geben?

21.02.2008, 18:10

Bjoern1982

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Ich habe doch schon ein Beispiel gemacht.
Alle anderen gehen genauso.

Statt z-Ebene musst du xy-Ebene schreiben, weil die z-Achse damit ja nichts zu tun hat.

Die Ebene E und die x-y-Ebene haben natürlich keine Schnittgerade, da sie parallel verlaufen. Bei allen anderen gibt es aber eine.

Orientiere dich einfach an meiner Vorgehensweise und versuche es einfach mal.
Ich werde immer mal wieder drüber schauen wenn ich am PC bin - ansonsten hilft dir bestimmt auch jemand anderes weiter smile

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